高中数学的知识点及公式【优秀6篇】

数学学习困难的研究是数学教学与实践中一个引人注目的问题，但是数学又是一个拉分很大的科目，大家学习完最好总结一下知识点和公式。它山之石可以攻玉，以下内容是差异网为您带来的6篇《高中数学的知识点及公式》，希望能对您的写作有一定的参考作用。

高中数学的知识点及公式 篇一

【关键词】 定位；知识呈现；严格性水平；综合程度；衔接

函数是高中数学知识框架中最重要的支柱，三角函数是函数知识的重要组成部分。大家知道，大学微积分是以函数研究为对象的。因此，三角函数知识的强化或弱化对大学微积分学习影响较大。究竟高中教材对三角函数应做怎样的取舍，才能不对后续学习产生负面的影响呢？我们不妨研究一下香港教材。香港数学教育一向受英美影响较深，很有成绩。

本文研究选取的是朗文香港教育出版社2009年出版的《新高中数学与生活》[1]系列教材，其中与三角函数有关的两本教材是《新高中数学与生活（必修部分）4B》（下文简称《必修4B》）与《新高中数学与生活（延伸部分）单元二――代数与微积分1》（下文简称《微积分1》）.《新高中数学》教材系列在香港影响较大。希望通过我们的研究，能让教材与教参编写者有所借鉴，对一线教师有所裨益。

1 三角函数在高中教材中的定位

香港目前使用的各种版本的高中数学教材，都是依据2007年制订的《数学课程及评估指引（中四至中六）》编写的。教材内容分必修部分和延伸部分。朗文香港教育出版公司出版的必修教材共6本，《必修4B》是其中的一本，包涵了三角函数最基础的知识及简单应用。《必修4B》的序言指出：“为所有学生提供必要的数学基础，配合他们日后在不同领域进修的需要。”延伸部分备有两个选修单元，单元一有教材2本，单元二有教材3本。《微积分1》是单元二的第1本教材，属选修教材，包涵的三角函数知识是《必修4B》所选三角函数内容的加深与拓展，绝大部分知识与大学数学衔接有关联。《微积分1》的序言指出：“集中在更深层次的数学上，为希望学习高等数学的学生奠下巩固的代数与微积分基础”；“冀能对学生日后升学或从事与数学有关联的专业，有所裨益”。从这里可以看出，《微积分1》是供相当于大陆的理科学生选修的。

香港教材将“三角函数”最基础的一部分内容定位为必修内容，将难度稍大且与大学数学衔接的内容定位为选修内容，对以后不同方向发展的学生作了不同的要求。反观大陆2007年编写的“人教A版”高中数学教材，将三角函数定位为必修内容，学生高中阶段所学的所有三角函数知识全编写在《必修4》[2]中。

2 三角函数知识在教材中的具体呈现

《必修4B》中的三角函数内容有132页（每页接近4A纸大小），大约18课时；《微积分1》中的三角函数内容有90页，大约14课时。两本书共有三角函数内容222页，大约共需32课时。

《必修4B》中三角函数知识呈现在第10章“续三角”与第11章“三角学的应用：二维空间”。第10章的具体编排是：基础知识重温；101旋转角：处于标准位置上的角，四个象限；102 任意角的三角比：任意角的三角比的定义，三角比的正负值；103三角函数的图像：y=sinθ的图像，y=cosθ的图像，y=tanθ的图像，三角函数的周期性；104三角方程的图解法；105三角恒等式：（180°-θ）的三角比，（180°+θ）的三角比，（360°-θ）的三角比，（360°+θ）的三角比，（90°+θ）的三角比；106 利用代数方法解三角方程；数学探究：直角三角形的正切值；IT活动：三角比的正负值，利用单位圆绘画y=sinθ的图像；点滴分享知多些：交流电与三角学在港灯电力供应中的应用；答案。第11章的具体编排是：基础知识重温；111 三角形面积：三角形面积，海伦公式；112正弦定理；113 余弦定理；114 三角学上的二维空间应用题：回顾，二维空间的应用题；数学探究：圆内接四边形的面积；答案。

《微积分1》中三角函数知识呈现在第4章“续三角函数（一）”与第5章“续三角函数（二）”中。第4章的具体编排是：41弧度制：度与弧度制的转换，透视弧度法求弧长及扇形的面积；42三角函数：三角函数定义，三角关系，三角函数的图像；43解简易三角方程；答案。第5章的具体编排是：51 复角公式：正弦的复角公式，余弦的复角公式，正切的复角公式；52 二倍角公式；53 积化和差公式与和差化积公式；答案。

《必修4B》介绍了海伦公式：ABC的面积=s（s-a）（s-b）（s-c），教材还不避繁琐用代数方法严格地证明了海伦公式。《微积分1》第4章介绍了y=cscθ与y=secx两个函数。这样，诱导公式中多了1+cot2θ=csc2θ、secθ=1cosθ等公式。这些都是人教A版《必修4》中没有的知识。 《微积分1》第5章介绍了积化和差公式与和差化积公式，并给予了简单的证明。因为有了这些公式，《微积分1》中出现了：在XYZ中，证明sinX+sinY+sinZ=4cosX2cosY2cosZ2这类例题，也出现了：化简

sinπ9cosπ9+cosπ3+cos5π9+cos7π9这类习题。人教A版《必修4》给出了例题： 证明（1）sinαcosβ=12sin（α+β）+sin（α-β）；（2）sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2.这是积化和差与和差化积两个公式，其他6个公式的证明放在习题中，但教材没有配套与这8个公式相应的练习题。

三角方程内容在《必修4B》和《微积分1》中都出现过，由于没有编排反三角函数的知识，三角方程都是比较简单的，若不是特殊函数值就需查三角函数值表来解决。《微积分1》在《必修4B》的基础上，介绍了y=cotx、y=cscθ、y=secx的图像、周期性以及定义域与值域，但没介绍这些函数的单调性。人教A版《必修4》介绍了正弦、余弦、正切三个函数的单调性，并介绍了三角函数更一般形式的单调性的求法。恒等式证明在《必修4B》与《微e分1》中都有涉及。《必修4B》的恒等式证明大多利用诱导公式完成，难度较小；因《微积分1》介绍过积化和差与和差化积公式，所以《微积分1》中给出的恒等式证明题，若从难度上讲，大多比人教A版《必修4》中的恒等式证明题难度要大。

3 知识的呈现模式与严格性水平

3.1 章首与章尾的内容与结构

《必修4B》与《微积分1》呈现的三角内容共有4章。每章章首都标明了学习重点，并给出与本章内容密切相关的一个生活中的实际例子，起提纲挚领及导入新知识的作用；每章章尾附有本章摘要，起归纳总结的作用。以《微积分1》的第5章“续三角函数（二）”为例，章首标明的学习重点有3点；生活中的实际例子是“声波之总和”：在大自然中，声波之传播可以用正弦函数表示。当几个声波交叠r，只要把代表各声音的波加起恚便可得出合波。对于两个相同振幅的声波W1和W2，其合波可写成函数y=sinu+sinv.这样就很自然地连接上和差化e公式。章末有重要词汇与重要概念。重要词汇有4条，均是中英文对照；重要概念包含19个重要公式。知识结构完整，内容前后呼应。

人教A版《必修4》每章章首有类似于导言的文字，章末有小结。“导言”简明扼要，也起到了提纲挚领的作用。章末有小结，包含本章知识结构及回顾与思考两个方面。知识结构一般用框图形式呈现出来；回顾与思考有3点，回顾了本章的重要知识点，还提出了几个相关的问题，这对进一步巩固学生所学知识起到了较好的作用。

3.2 重要概念的引入与公式的推导

《必修4B》与《微积分1》在重要概念的引入上，一般是在旧知识的基础上拓展到新知识，从特殊情形拓展到一般情形。比如任意角的三角比定义，《必修4B》先从锐角θ说起，利用直角三角形写出锐角θ的三角比，再定义一般角θ的三角比：将任意角θ放在坐标平面上，设P（x，y）是角θ终边上的任一点（异于角的顶点），定义sinθ=yr，cosθ=xr，tanθ=yxx≠0，其中r=x2+y2.这种引入重要概念的方法符合学生的认知规律。人教A版《必修4》的做法是，设角θ的终边与单位圆的交点为P（x，y），于是sinθ=y，cosθ=x，定义表述很简洁。比较而言，《必修4B》比人教A版《必修4》在细节的处理上要到位一些。教材中比较清晰地讨论了特殊角0°、90°、180°、270°和360°的三角比，利用数形结合的方法使基础一般的学生能很好地理解与记忆。

在重要公式的推导上，《必修4B》与《微积分1》的做法与人教A版《必修4》有些不同。例如推导复角公式，《微积分1》先推导sin（A+B）的结论：设在OPQ中，过顶点O作ORPQ，R是垂足，并设∠POR=A，∠ROQ=B.利用POQ面积=POR面积+ROQ面积，证明了sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.教材在此处提示了该公式对任意角也成立。因为角A与角B不是任意角，这样的推导过程不够严谨。人教A版《必修4》第三章是先推导cos（α-β）的结论的，证明过程中设α、β是任意角，利用单位圆和向量的方法完成了证明。这样证明难度稍大，但证明过程非常严谨。

3.3 定理、法则与公式的严格性水平

严格性一般划分为四个水平层次：水平1：直接给出理论，没有任何解释或证明；水平2：通过例子解释理论；水平3：较为严格地解释理论的正确性，但不进行证明；水平4：严格地证明理论。

《必修4B》与《微积分1》两本教材中，正弦的两角和公式实际是由特例解释的，算不上严格的证明，达到严格性水平2；诱导公式、海伦公式、正弦定理、余弦定理、弧长公式、扇形面积公式、同角三角函数关系式、正弦两角差公式、余弦的两角和与两角差公式、正切的两角和与两角差公式、二倍角公式、积化和差公式、和差化积公式，均是通过严格证明得到的，达到了严格性水平4.

人教A版《必修4》中，与-α和π-α相关的诱导公式、正弦的两角和与两角差公式、正切的两角和与两角差公式、正弦与余弦的二倍角公式都是直接给出的，没有严格证明，达到严格性水平1；与π2+α相关的诱导公式只给出了严格的解释，并没有证明，达到了严格性水平3；与π+α和π2-α相关的诱导公式、余弦的两角和与两角差公式均通过了严格的证明，达到了严格性水平4.

可见香港教材的严格性水平整体比较高。人教A版《必修4》的不少公式是直接给出，可能编者认为这些公式的证明并不难，学生可以举一反三自己完成。

4 例习题的设置及综合性程度

4.1 例习题的设置比较

《必修4B》与《微积分1》的例习题编写很有特色，层次分明，坡度合理。课内有例题，大多深入浅出，展示不同的数学技巧。紧跟例题后面有即时练习，是些与例题一一对应的题目，以巩固学生的知识，有时后面还配有综合性稍强的跟进练习或课内练习。课后一般配有不少的练习题，按程度分为初阶和进阶，并备有开放式题目。每章末配有总复习题，按程度分为初阶、进阶、多项选择题及公开试题目，并为能力较强的学生提供香港数学竞赛题目。总复习外还配有少量的数学探究题与IT活动题。设置数学探究题的目的是透过富有趣味性的题目，培养学生数学解难题技巧，激发学生探索与研究的兴趣；设置IT活动题的目的是让学生熟悉新技术的运用，帮助学生对数学问题的深度理解。

以《必修4B》的第10章“续三角”为例统计：例题19个，即时练习题19个，跟进练习题15个，课堂练习题5个。课外练习中，初阶练习题53个，其中有4个开放式练习题；进阶练习题48个。本章总复习题中，初阶练习题19个，其中有1个开放式练习题；进阶练习题26个，多项选择题14个，公开试题目5个，香港竞赛题4个，数学探究问题2个，IT活动题目6个。

对应地对人教A版《必修4》第1章“三角函数”进行统计：例题25个，课内习题58个，课外练习A组题61个，B组题15个，探究题7个，IT活动题目1个。由此可见，人教A版《必修4》课内练习还是做的很扎实。课外练习共76个题，比《必修4B》的第10章“续三角”课外练习159个少了83个。

4.2 例习题的综合性程度

例习题的综合性分为四种类型：类型1：与三角领域内其他知识的综合；类型2：与数学其他领域内知识的综合；类型3：与其他学科知识的综合；类型4：与具有实际生活背景的问题综合。

仍以《必修4B》的第10章“续三角”为例，根据上述综合性的分类标准来统计：例题中属类型1有14个，类型2有2个，类型3有2个，类型4有1个；习题中属类型1有159个，类型2有30个，类型3有14个，类型4有12个。由此可见，《必修4B》的第10章“续三角”中的例习题，主要体现了三角知识在三角领域内的运用，突出对三角知识的理解与掌握，同时也兼顾到数学学科内各分支知识的联系，以及三角知识在其他学科上的综合应用。

人教A版《必修4》第1章“三角函数”中，例题中属于类型1的18个，类型2的3个，类型3的2个，类型4的4个；习题中属类型1的61个，类型2的3个，类型3的2个，类型4的6个。可见，人教A版《必修4》主要关注学生对三角基础知识的理解和掌握，也注重三角知识在实际生活中的应用。

5 启示

5.1 香港教材内容丰富详实、系统性较强

相对于英国和美国的三角函数教材，香港教材少了反三角函数内容。但相对于人教A版《必修4》，香港教材多了简单的三角方程、海伦公式、余切函数、正割函数、余割函数等。人教A版《必修4》虽然也出现过积化和差与和差化积8个公式，但因这8个公式只出现在例题和习题中，教材并没有把它们当公式用，也没有编排相应的巩固练习题，加之高考又不考，所以，这8个公式学生学了等于没学，在学生的知识链上没有留下多少记忆的痕迹。这样看，其实香港教材还多了积化和差与和差化积公式。我们常将三角学划分为“三角函数与方程”、“三角恒等变换”和“三角学的应用”。相对于这种划分，香港三角函数教材内容是完整的、丰富详实的，系统性较强。人教A版《必修4》相对于香港教材和2003年前的大陆旧教材，删减内容过多。没有了简单的三角方程，学生连已知三角函数值求角都不会做，因而连一些简单的三角函数应用问题也处理不了；不学积化和差与和差化积公式，若有稍微综合一点的三角恒等变形或证明问题，W生是没办法处理的。我们新的课程标准和新教材编写，要借鉴香港教材对三角函数内容的取舍方法。

5.2 关注三角函数知识与大学数学的衔接

我们都知道，无论是大学文科数学或理工科数学，在学习微积分内容时，都会学习求函数的定义域、值域、极限、微分、积分等知识，都会用到6个三角函数和4个反三角函数的知识及恒等变换技巧。从2003年开始，虽然高校出版的大学微积分教材多少会参照高中的课程标准，但是很少能找到衔接好高中知识的大学教材，因此大多数微积分教材得不到大一与大二学生的认可。由于高校的录取数量逐年增加，参加高考的学生75%以上都能被不同层次的各类大学录取，因此，不少二本或三本大学新生的数学基础并不算好，也不具备自学高中三角函数知识的能力；加之大学没有安排时间补习那些被弱化和被删减的知识，这样，相当一部分学生学学微积分很吃力，甚至不及格。参考英美各国教材和香港的教材，我们要树立长远的课程和教材理念，不要过度弱化或删减高中三角函数核心内容，为使学生学好大学微积分，高中应为他们打好相应的基础。

5.3 进一步凸显习题设置的层次性

习题既是知识的应用，又是知识和能力的再生。从上文研究可以看出，香港教材在习题设置上很有创意，内容丰富、层次感强。这种细化分层具有一定的弹性，照顾到了不同基础学生的意愿，让他们有很大余地去选择课内与课外的练习题；同时，这种细化分层使习题具有很好的坡度，知识点要求从单一到综合，技巧要求从易到难，容易使学生达到巩固和提高的目的。而且书中还附有答案，学生在练习过程中可以得到及时反馈，便于学生自学。我们的教材中习题分层简单，习题量小，因此学生的选择余地就小。不少老师为了弥补这一缺陷，就组织学生去找书商购买课外参考资料。经常因这些参考资料的质量参差不齐，影响了学生的课外学习。我们的教材编写者应该向香港的同行学习，学习他们对习题设置的理念与方法，能使我们的教材进一步凸显习题的层次性，发挥习题应有的功能和价值。

参考文献

高中数学的知识点及公式 篇二

【关键词】点到直线的距离；教学设计

笔者在教学实践中根据对教材和学生的分析，在维果茨基的“最近发展区”理论指导下将教材例题、习题进行必要改编或补充，提高教学效率的同时以便学生更好地自主构建新知。

一、教材分析

作为“直线的方程”的最后一节内容的“点到直线的距离”，是学生在学习了直线相关知识的基础上，实现由平面几何的几何度量关系过渡到解析几何的代数计算的完整范例，为后面学习直线与圆的位置关系和圆锥曲线奠定了基础。通过点到直线的距离公式的探究与应用过程，让学生进一步体会用代数方法解决几何问题的思想。

二、学情分析

知识基础：学生已经掌握了两点之间的距离公式，直线的倾斜角、斜率、直线方程和两直线的位置关系等相关知识。能力基础：学生对利用代数方法研究几何问题有了初步的认识和体验，但对代数式的化简能力和抽象思维能力需要进一步培养。

三、教学目标

知识与技能目标：掌握点到直线的距离公式及其简单应用；会求两平行线间的距离。 过程与方法目标：通过体验公式的推导过程，使学生体会由特殊到一般、从具体到抽象的数学探究方法，渗透数形结合、转化化归等思想，提高用代数方法解决几何问题的能力。情感、态度与价值观目标：通过小组合作探究解决问题的过程，培养学生探索精神，提高合作意识。重点：点到直线的距离公式及其简单应用。难点：点到直线的距离公式的推导。

四、教法学法

教学方法：学生是知识意义主动的建构者，“只有针对最近发展区的教学，才能促进学生的发展”，为了帮助学生完成自主构建新知，结合本节课的知识结构特点，采用问题探究式教学法。学习方法：利用导学案自主探究的基础上合作交流。

五、课例习题设计

本节课教材直接给出了求点P（x1，y1）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离公式的一种推导方法，并且运算化简技巧较强，学生理解和接受难度较大，不利于学生发散思维能力的培养。为了分散难点，提高学生参与的广度和深度，通过调整引例充实内容，将公式的推导过程分三个层次完成：

第一层次 特例引路，启发思维。在回顾初中“点到直线的距离”定义中的垂线段的长后教师提出以下问题：

问题1：求点P（1，2）到直线l：x-2y+2=0的距离。学生独立思考后小组讨论，

代表展示、讲解解决问题的方法和步骤。（学生可能利用直线关系转化为两点距离或

者利用构造三角形、构造目标函数等方法，教师点评）

【设计意图】教材直接呈现求点P（x1，y1）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离，对学生的抽象思维能力和对代数式的运算能力要求较高。问题1是具体化的问题，起到了“垫脚石”的作用。可以实现以下目的：（1）使学生体会数形结合、转化等数学思想方法，培养学生发散思维能力；（2）为公式的推导做了铺垫，完成对教学难点的初步突破；（3）给学生探索的时间和空间来体验数学再发现的过程，提高合作意识。

第二层次 顺藤摸瓜，推导公式。问题2：求点P（x1，y1）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离。学生分小组合作进行公式推导。因为有问题1的引路，会有多数学生选择求垂足坐标的方法，但在有限的时间里多数学生并不能得到最后结果，因此教师屏幕展示这种方法的推导过程。

（1）结合|PP0|=（x1-x0）2+（y1-y0）2的结构特点，是否有简化运算的方法？

（2）可以不求垂足P0的坐标吗？

教师引导学生分析目标式和已知式的特点，提出整体代换的思想。即可将x1-x0和y1-y0分别视为一个整体。构造关于x1-x0和y1-y0的两个方程式：

然后让学生完成后续推导过程，体会一下设而不求，整体代换的方法在简化运算中的作用。

【设计意图】让学生体会公式的推导过程、培养学生的运算能力的同时培养学生灵活分析、锲而不舍的钻研精神。

第三层次 分析公式，加深认识。对于点到直线的距离公式d=Ax1+By1+CA2+B2.

思考问题：（1）此公式对应的直线方程是什么形式？（2）公式结构特点是什么？（3）点P在直线l上时成立吗？

【设计意图】通过学生思考回答，使学生理解公式适用的范围，把握公式的形式特点。

以上三个层次的探究过程，符合学生的认知发展规律，逐步突破了教学难点。为了逐步完成教学目标，在公式的应用环节，设计了公式的直接应用和灵活应用两个层次的题目，对教材例题进行了巧妙的改编，并补充了相应的巩固练习。

例1 求点P（1，-1）到直线l：x-2y+2=0的距离。

巩固练习 1.求点P（-1，2）到以下直线的距离。

（1）l：2x+y=5；（2）l：y=2x+1；（3）l：x=-2.

2.点P（4，m）到直线3x-4y-1=0的距离为3，求m的值。

3.在x轴上求与直线3x+4y-5=0的距离等于5的点的坐标。

为了让学生熟悉公式的使用，例题是公式推导环节中的引例，学生直接套用公式求解，体验应用公式解题时的简捷性，并以此规范解题步骤，然后引导学生总结求点到直线距离的计算步骤，渗透算法思想。

巩固练习题组1是教材习题的改编。需要先化为直线方程的一般式，再套用公式，第（3）题也可数形结合解决。此题组由学生独立完成后回答交流。巩固练习2、3是逆用公式的题目，公式中有点的坐标、直线方程的系数及距离等6个量，可知五求一。小组合作后展示解题过程，教师点拨评价。

【设计意图】通过此阶段的例题和练习，使学生掌握公式结构及使用公式应注意的问题，熟练运用公式。

例2 探究两平行直线 l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0（C1≠C2）之间的距离公式，并给出证明。

巩固练习 1.求两直线l1：2x+y+1=0，l2：2x+y-3=0的距离。

2.求两直线l1：2x+y+1=0，l2：4x+2y-6=0的距离。

首先，在小组合作探究后学生黑板板演，其余学生在导学案上完成。引导学生分析两平行线间的距离公式的特点，然后进行巩固练习。

【设计意图】将教材中的例题2将平行线间的距离转化为点到直线的距离，既是对点到直线距离的灵活运用，又让学生充分体验数学中的类比、转化的思想。巩固练习1让学生直接套用公式，而第2题必须注意应用公式时应先化简，有梯度的让学生构建出新知的正确使用过程。

六、设计特色

1.本节课的设计在尊重教材的基础上又创造性地使用教材，在“最近发展区”理论指导下通过由特殊到一般，具体到抽象的探究问题的过程使学生在充分的体验和感悟中经历了公式的形成及巩固过程，感受到了多种数学思想方法的应用。

高中数学的知识点及公式 篇三

[关键词]物理（工）；教学重点；考题分析

[中图分类号]G642

[文献标识码]A

[文章编号]1671-5918（2015）05-0124-03

doi：10.3969/j.issn.1671-5918.2015.05-061

[本刊网址]http：//

物理（工）作为高等教育自学考试工科专业的一门必修的公共基础课，根据全国高等教育自学考试指导委员会2007年5月颁布的《物理（工）自学考试大纲》为依据，以《物理（工）》（吴王杰主编，机械工业出版社，2007年9月第1版）教材为命题范围。相对《物理（工）》（丁俊华、祁有龙主编，辽宁大学出版社，1999年10月第1版）原教材，考试范围由原来的七个篇幅改为目前的五个篇幅，包括：力学、热学、电磁学、振动、波动和光学以及近代物理学共12章。根据命题要求，要科学地、系统地掌握物理学的基本概念和规律；注重对主要物理思想和研究方法的理解和分析；强调理论联系实际，初步掌握应用物理学规律解决实际问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力。

本课程知识点繁多、考查范围广、概念抽象，要求考生具备一定的高等数学基础知识，在以往的考试过程中，属于学习难度较大、通过率较低的课程之一，因此，作为助学教师，应该把握本课程的教学重点，在有效的指引和帮助学生顺利通过考试的同时，提高学生应用物理方法去解决实际问题的能力，这就要求教师熟悉课程的考试大纲、了解本课程的考试动态、分析试题的特点并找出出题规律、总结提炼各章节的核心知识点及重要公式，这样才能掌控教学重难点、才能合理的安排教学计划，进而达到教学助学的目的。笔者通过分析近年的国考试卷，根据出题的规律及试题特点，提出了应试策略，并根据自己的教学经验，列出了各章必备的知识点，另外，就本课程的教学方法提出了一些自己的意见，希望给各位老师及考生带来一定的启发和帮助。

一、历年国考试题分析

纵观历年真题，不难发现，物理（工）的全国自考试题题型有：选择题、填空题、计算题以及分析计算题，从2008年4月份的考试开始，在分值分配上，2010年以前采用：选择20小题，每题2分，共40分、填空6小题，每题3分，共18分、计算4小题，每题8分，共32分、分析计算1小题，共10分，2010年后：计算题改为3小题，每题10分，共30分、而分析计算题改为12分。历年真题考查全面、紧扣考试大纲，认真分析可以更好的把握教学重点，也有助于考生了解各章的分值分配情况以及考查方式，在复习的过程中，做到心中有数。为此笔者对2008年4月份到2014年4月份共19份试卷进行了如下统计分析：

（一）各章分值（比重）统计

根据考试大纲，考查的知识点遍布于各章，但是分值比重有明显差别，依据各章分值比重统计，不难发现：所占比重最大的为第2章：守恒定律，占总分的14.3%，比值最小的为第11章：狭义相对论，仅占总分的4.5%。可以依据分值比重大小，将全部内容简单的划分为三类，第一类：平均分10分以上：第1、2、6和10章，第二类：平均分6-10分：第4、5、7和9章，第三类：平均分6分以下：第3、8、11和12章。所以，在进行教学和复习时，我们可以以此为依据，来把握教学重点。另外，从数据中我们发现：第一类中四章内容的平均分之和为：47.5，接近总成绩的50%，所以，在复习过程中应特别重视。

（二）各章题型统计

物理（工）自学考试一方面考查学生对本课知识点的掌握程度，另一方面也考查了学生应用物理知识分析、解决问题的能力，而不同题型的试题考查的侧重点不同，选择题能比较确切地测试学生对概念、原理、性质、法则、定理和公式的理解和掌握程度，同时培养概括、分析、评价等能力，考查较为全面。填空题要求准确性，要对课本中的概念、陈述等内容有精确的认识，而涉及计算时只要结果，突出训练考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力。计算题除了考查学生对相关定理、定律的掌握程度以外，还要求熟记相关公式并能运用，并在解题过程中列出计算及推导步骤。分析计算题在考查学生的计算能力和对知识点的应用能力的基础上，往往涉及多个知识点，要求知识的系统化，作答过程中还要求考生进行适当的分析说明，考查了学生对所学的物理知识的综合应用能力。

根据各章题型统计数据，在以往的试卷中，对各章知识点的考查形式差别明显，选择题中第1章的内容出现的次数最多，平均出现次数为51/19=2.7，即平均每份试卷中有近3道选择题来自第1章的内容，出现次数较小的有第2章和第4章，在每份试卷中的平均出现次数仅为4/19 =0.2和11/19=0.6，而其它各章在每份试卷中平均出现的次数都在1-2之间。填空题中出现次数最多的也为第1章，平均出现次数为24/19 =1.3，出现的次数最小的为第10章，平均出现次数为0。计算题中出现的次数较多的有第4、6、10章，每章的平均出现次数约为0.7，出现的次数较小的有第11、12章，平均出现次数为0。分析计算题中出现次数最多的为第2章，平均出现次数为12/19 =0.6，其次是1、4、5、6、7章，平均出现次数约为0.1，而其它章节为0。所以，根据以上的分析结果，在复习过程中，针对第1、3、5、7、8章的知识点，应加强选择题和填空题的训练；针对第2章的知识点，加强分析计算题的训练；针对第4、6、9章的知识点，加强选择题、填空题和计算题的训练；针对第10章的知识点，加强选择和计算题型的训练；而最后两章在以往的考题中并没有出现计算题和分析计算题，所以主要加强选择题和填空题的训练。

综上所述，根据统计结果，我们可以确定：第1章的选择、填空题，第2章的分析计算题，第6章的选择、填空、计算题以及第10章的选择、计算题为本课程复习训练的重点。另外，需要说明的是，各章没有出现的题型并不代表在下一年的考试中就一定不会出现，考生只有真正将各知识点融会贯通，才能在考试中做到游刃有余。

二、重要知识点归纳

“抓考点、善总结”只有将教学重点切实地体现在教学过程中，落实在教学内容上，才能真正地提高教学效率，那么在复习过程中，我们到底应该“抓”什么呢？我认为重要知识点以及相关公式是关键。只有吃透课本，熟悉公式才能应对考试中的各类题型。笔者根据教学经验归纳了各章的重要知识点，参照教材《物理（工）》，具体内容如下：

第1章：圆周运动中切向和法向加速度的应用、牛顿运动定律及其应用、质点的运动学方程的求解，第2章：三大守恒定律及应用（动量守恒、角动量守恒、机械能守恒）、转动定律、角动量定理及应用，第3章：理想气体的物态方程及应用、热力学能公式及应用、三个速率（最概然速率、平均速率、方均根速率）的求解，第4章：两个热容公式（摩尔定容热容、摩尔定压热容）、三大等值过程（等体过程、等压过程、等温过程）中三个量（系统对外界做功、系统热力学能增量、系统吸收的热量）的求解、热机效率计算，第5章：库伦定律及应用、两个定理（高斯定理、静电场环路定理）及应用，第6章：毕奥萨伐尔定律及应用、安培环路定理及应用，第7章：法拉第电磁感应定律、动生电动势和感生电动势、自感及互感，第8章：简谐振动的运动学方程及应用、简谐振动的速度及加速度公式、简谐振动的能量（势能、动能）求解、同方向、频率的简谐振动合成，第9章：平面简谐波的公式及应用、驻波公式，第10章：杨氏双缝干涉中明纹及暗纹公式、等厚干涉中空气劈尖、牛顿环的明暗纹计算、单缝衍射中明、暗纹位置、中央明纹半角宽的计算、光栅方程及应用、光的偏振中马吕斯定律及布诺斯特定律，第11章：狭义相对论中时间膨胀、长度收缩公式及应用、质能转换公式的应用、相对论动量能量关系，第12章：光电效应及应用（光子质量公式、爱因斯坦方程、截止频率的计算）、德布罗意假设及应用等。

三、教学方法探析

（一）针对教学对象“因材施教”

全日制自考学历层次包括：专科段、本科段、独立本科段，自考学生的文化基础不同，物理知识水平更是参差不齐，所以，在教学过程中应针对基础不同的班级和学生采取不同的教学方法，对于基础薄弱的学生，应以基础知识讲解为主，利用课下时间进行相关数学、物理知识的补习，帮助其增强自信心，努力提高学生的学习兴趣；对于基础较好、有潜力的学生，鼓励其勤学多练，进一步提高成绩的同时拓展知识面，进而增强自学能力。

（二）突出重点内容“有的放矢”

怎样帮助学生成功应对考试，达到高效复习的目的呢？我认为应该从两个方面人手。一方面要突出重、难点，合理安排课时，适当增加在考试中分值比重较大部分的课时，例如前面分析提到的第1、2、6、10章的内容，在教学过程中要对典型的、具有代表性的习题进行精讲，另外，在教学安排中，要预留一定的系统化复习时间。另一方面要讲究方法，做到事半功倍，首先，要注重对基本概念的理解，反对机械性的死记硬背，加强物理思维的培养；其次，强调知识点的纵向差别及横向对应关系，方便理解和记忆，纵向方面，例如：第3章中，三个速率（最概然速率、平均速率、方均根速率）的公式差别、第4章中，三大等值过程（等体、等温、等压过程）中求解系统对外界做功、系统热力学能增量、系统吸收的热量的公式区别等，横向方面，例如：第1章的质点运动和第2章的刚体定轴转动中的物理量和运动规律（公式）可以形成一一对应关系、第5章的高斯定理与第6章的安培环路定理具有相似的积分形式等；最后，要善于归纳总结，教师的板书要真正做到为学生服务，使学生的课堂笔记成为复习的帮手，这就要求教师整理的内容精准、全面，除了重点知识点、基本公式以外，还应包括课本中没有明确给出的推导后的公式、典型习题的计算过程等。例如：第9章中三种不同的平面简谐波的表示形式等。

（三）注重能力培养“授之以渔”

高等教育自学考试的任务是通过国家考试促进广泛的个人自学和社会助学活动，推进在职专业教育和大学后继续教育，造就和选拔德才兼备的专门人才，提高全民族的思想道德、科学文化素质，适应社会主义现代化建设的需要。物理（工）课程的作用是提高学生的科学思维能力及科研创新能力，将物理学的思维方法应用于实践，为社会发展服务。所以教师在教学或助学过程中，不仅要以学生通过考试为目标，更应该重视学生物理思维方法的培养，包括归纳、演绎、类比等常用的思维方法。鼓励学生推导、验证一些基本公式，对具体陈述或个别结论进行演绎推理，拓宽学生的思维、促进其个性发展。引导学生理论知识与实践相结合，用物理方法解决日常问题，通过提高识别能力、空间想象能力、逻辑思维能力、计算能力、分析推理能力来提高学生的全面素质，进而使工科物理学在教育中的意义得到真正体现。

高中数学的知识点及公式 篇四

关键词：初等数论 教学 类比法 应用 分析

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）06（c）-0094-01

类比法作为一种有效的教学方法，其最为突出的优势在于，能够引导学生将不同的对象联系起来，从而达到加深学生对相关知识点认知与理解程度的目的。将其应用于初等数论教学中，不但有助于提高学生对相关知识点的掌握程度，同时还有助于形成良好的数学思维。本文试结合教学实践案例，对其做详细分析。

1 类比法应用于最大公因数教学

教师首先需要针对此项教学内容的课时进行细致安排，确保学生能够充分认识到有关“最大公因数”知识点的基本内容。在此基础之上，从基本概念、性质、计算方式以及特征等多个方面入手，以类比法为主要手段，引导学生自主认识到有关“最小公倍数”知识点的基本内容。教师应用类比法分析“最大公因数”知识点的过程中，可按照如下方式实施：

第一步：分析“最大公因数”基本定义：即对于整数a1，a2，…，an而言，与之相对应的公共因数可以定义为a1，a2，…，an的公因数。与此同时，对于不全为零的整数b1，b2，…，bn而言，其所有公因数当中，数值最大的公因数可定义为整数中的最大公因数。其具体的表达方式应当为：（b1，b2，…，bn）。同时，对于非零整数而言，与之相对应的因数个数是有限集。因此可以证实：最大公因数（b1，b2，…，bn）是实际存在，且为正整数。

第二步：研究“最大公因数”基本定理：即对于任何整数集a1，a2，…，an而言，满足如下等式：（1）：（a1，a2，…，an）=（|a1|，|a2|，…，|an|）；同时也满足（2）：（a，1）=1；（a，0）=（a，a）=|a|。同时，（a，b）=（b，a）。在此基础之上，若定义x，y，z当中，x为整数，y为素数，那么对于（y，x）而言，合理的取值结果可以分为两种情况：（1）是（y，x）=1；（2）是（y，x）=y|x。在此基础之上，若进一步应用类比法，定义a取值为（by+z），那么可以推断得出：（a，b）=（b，z）。

第三步：引导学生自主展开对“最大公因数”相关数值的求解：教师需要在教导学生认识如何应用类比法推断公式的基础之上，引导学生自主展开对相关知识点的求解。例如，在上一步骤教师所进行的教学过程当中，已得出了两个有关“最大公因数”的基本定义：（1）（a，1）=1；（a，0）=（a，a）=|a|；（2）定义a取值为（by+z），则有（a，b）=（b，z）。在上述两项“最大公因数”基本性质定理的基础之上，学生可以利用辗转相除法计算得出，在任意n个非零整数中的最大公因数数值。基于上述分析不难看出：在初等数论的教学过程当中，整数的整除理论可以说是教学的基础与根本所在。以类比法为手段，组织有关最大公因数的教学内容，能够在提高教学质量的同时，加深学生的理解。

2 类比法应用于同余式教学

在有关同余式性质以及等式基本性质知识点的研究过程当中，同样可借助于对类比法的合理应用，加深学生对于此项知识点的认知。在此过程当中，教师应用类比法方式展开教学的最主要目的：在于既体现同余式性质与等式基本性质联系的同时，比较上述两者之间存在的异同点。具体而言，可按照如下方式实施：

第一步：引导学生认识到固定模所对应同余式与常规等式之间的相同点。具体来说，对于固定模a而言，a自身所对应的同余式在如下几个方面与等式有着多处相同点。具体如下所示：

（1）首先，xy（mod a）所需要满足的最基本的充要条件为：x=y+at（且t∈Z）换句话来说，该充要条件还可进一步拓展成为：a|x-y；其次，对于存在同余关系的等式而言，有以下几个方面的算律是必须遵循的：同余关系从本质上来说属于一种特殊的等价关系。

（2）在对同余式进行加/减操作的过程当中，若定义xy（mod a），且满足zu（mod a）。联立上述同余式，则可以推断得出存在于x、y、z、u之间的对应关系：如x±zy±u（mod a）；在对同余式进行相乘操作的过程当中，若同样定义xy（mod a），且满足zu（mod a）。联立上述同余式，则可以推断得出存在于x、y、z、u之间的对应关系：如xzyu（mod a）。

第二步：教师可以在得出上述基本算律的基础之上，就上述有关同余式进行加/减操作以及乘法操作过程当中所表现出的基本特点，建立相应的运算公式。但需要注意的是：对于同余式而言，消去律在常规意义上来说是不成立的。这也就是说：在基于xzyz（mod a）的基础之上，并无法准确的推断得出：xy（mod a）。教师需要在引导学生认识到上述问题的基础之上，采取类比方式，引导学生推断得出以下结果：即对于同余式“xzyz（mod a）”而言，可以判定的是：

xy（mod a/（a，z））

换句话来说，若在该同余式当中的（z，a）取值为1，那么上述等式可以直接简化成为“xy（mod a）”。这一过程当中所涉及到的基本定理就在于：当出现同余式两边公因数z与模a存在互素关系的情况下，则可以在该同余式两边直接约去公因数“z”，达到简化同余式的目的。基于上述分析不难发现：在将类比法应用于该知识点教学的过程当中，能够尽量避免同余式运算过程的抽象性，提高学生对于整个计算过程中以及数论知识的理解程度，同时加深记忆。

3 结语

类比法最为突出的优势在于，能够引导学生将不同的对象联系起来，达到加深学生对相关知识点认知与理解。这与初等数论教学的目的相吻合。本文结合相关教学案例，研究类比法在教学过程中的应用。

参考文献

[1] 原新生。突出师范特色改革初等数论教学[J].教育与职业，2006（8）：99-100.

[2] 蒋亦华。“初等数论”教学中的创造性思维训练与能力建构[J].大学数学，2006，22（3）：32-34.

高中数学的知识点及公式 篇五

关键词：师生关系；课堂教学；解题策略；数学思想和方法

一般校高中文科生因基础薄弱，对学习数学常常心存畏惧，总觉得自己不论怎么努力，最终还是会名落孙山，从而对数学丧失信心、失去兴趣，导致学生讨厌数学、讨厌数学课进而讨厌数学老师，严重影响了学生的发展和老师的正常教学活动。进入高三阶段，学生发觉自己对高中数学的主干知识只是一知半解，面对繁多的复习题，不知从何下手。对师生而言，上课都成为一种折磨，一次又一次不成功的考试又不断地加剧学生对数学的恐惧，以及教师的无奈和失败感。本文将就怎样帮助这些学生走出数学学习的困境，谈些个人的经验和 做法。

一、建立良好的师生关系，师生齐心协力共渡难关

良好的师生关系是这些学生最终走出数学学习困境的动力所在，也是教师工作热情的源泉之一。而建立良好的师生关系有赖于教师较高的师德水准和业务水平。教师发自内心的关心、理解、包容、尊重、欣赏、鼓励和信任这些学生，在他们的内心常常激发出强大的学习动力。信其师，才能亲其道。当学生在思想上对自己有了全新的认识，树立起自信心来，那么他们就会有巨大的动力和高涨的热情去学习数学。

二、夯实基础，重点夯实核心知识点

1.帮助学生在深刻理解的基础上记住主要知识点，尤其是核心知识点

高三复习时间有限，而这些学生对高中数学主干知识的掌握程度较差，并且抽象能力弱、数学经验少。因此，就要求重点讲解高中几大块主干知识的核心知识点。要从一个比较容易理解的角度和更通俗的语言进行引入和深入，要低起点、多铺垫、小步子，直观通俗又不失数学的严谨性，操作性强，以提高课堂教学的成效。此外，应注重讲解知识形成过程、知识点之间的联系以及数学结论的实质，促进学生对知识的深刻理解，学会把知识融会贯通。最后，应注重数学思想的教学，以提高学习数学知识的效率。

如在复习三角函数这部分内容时，要重点讲解的内容之一就是两角差的余弦公式，然后引导学生运用转化的思想，以及三角诱导公式、同角三角函数关系等知识导出两角和的余弦公式，及两角和、差的正弦、正切公式，倍角公式。应引导学生结合公式的推导过程认识公式的构成特点。诸如，两角差的余弦公式中，为什么是同名三角函数相乘？为何两个乘积相加而不是相减？同时，还应该引导学生思考各公式告诉我们怎样的联系，如余弦倍角公式cos2x=2cos2x-1包含了cos2x和cos2x的联系等。还可以启发学生思考公式中角的含义，两角的和或差可以看作一个角，反之，一个角也可拆分成两角的和或差。

再如诱导公式，尽管有“奇变偶不变、符号看象限”的口诀，但因学生不能解其意，谈不上灵活运用。其实，可以先重点讲解三角函数的定义这个核心概念，同时强调任意角可以是负的，其绝对值可大于360o（即2π弧度），在此基础上，让学生根据定义，求sin30°、sin150°、sin210°、sin330°、sin390°、sin（-30°），不难发现它们的绝对值都等于30°，接着结合图像，可知30°是这些角的终边和横轴的最小偏离量，这样可以让学生体会到，可以把各种角的正弦转化为“锐角”的正弦，符号根据角的终边所在象限确定，进一步抽象出sin（π-A）、sin（π+A）、sin（2π-A）、sin（2π+A）、sin（-A）同sinA的关系式，然后加以证明，再归纳出求角的正弦的步骤。这样的教学，起点低、步子小、铺垫多，直观通俗，便于操作，即使基础很弱的学生在课堂上也能准确地记住了诱导公式并会 应用。

2.帮助学生从运用的角度理解主要知识点

不少学生虽然记住了主要知识点，但是面对具体问题，仍然束手无策。因此，应引导学生从应用的角度理解数学主要知识点，提高运用数学知识的能力。

首先，应启发学生思考应用所学的知识点解决数学问题，把知识技能化、程序化。如复习了圆锥曲线的方程后，可启发学生体会求圆锥曲线方程的方法、基本程序。当曲线方程的参数、曲线类型确定，就可以求得曲线方程。再如复习了导数在研究函数中的应用后，可启发学生思考求函数的单调区间以及极大、极小值，闭区间上的最大、最小值的方法、程序。这样，学生在解题过程中，便有较强的主动性，能增强求解综合性较强的题目的 能力。

其次，应启发学生应用已学知识点，去领会重要的数学概念、术语的内涵，其中所包含的数学对象、它们之间的联系，并且会用数学符号、图形语言加以表述。这是学生读懂题意的基础，而领会题意是成功解题的重要前提。如面对曲线的切线这个数学术语，就可以引导学生注意切线的切点、斜率，切点与切线、曲线的关系（切点既在切线上，也在曲线上，切点坐标代入切线和曲线的方程均能成立），而切线的斜率又与曲线在切点处的导数有关，当切点、斜率确定，可求切线方程，这样，学生面对曲线的切线问题时，不会无话可说，无事可做。又如点P为抛物线上任意一点，应想到点P和焦点、准线关系密切，尽量求出焦点准线，写出点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，画出图形表示，点P坐标代入抛物线方程一定成立，设点P坐标时，用一个变量即可。这些看似简单的“词语解释”，能帮助学生解出不少难度中等偏下的数学问题。

第三，应启发学生思考重要知识点的实质和联系，其中所包含的重要的数学思想和方法。这对提高学生读题能力大有帮助，有助于学生找到解题切入点和整体思路。如复习了函数这部分内容后，应启发学生领悟到函数的单调性、周期性、奇偶性，最大值与最小值，图象等，是在研究函数时应密切关注的问题，知道函数的特征在图象中可以得到直观体现，灵活运用数形结合思想解决函数的有关问题，并利用函数的周期性和奇偶性深入研究一个函数，领悟到函数的单调性与最大、最小值间的密切关系，知道从函数的单调性入手研究最大值与最小值问题。研究函数的单调性可利用导数这一工具。这样，可以把所学函数知识系统化、融会贯通，学生在求解综合性较强的数学问题时，能较快地领会题意，找到整体思路。

三、学会求解常规数学题的基本思考方法

不少学生面对常规的数学题仍无从下手，或半途而废、照搬题型，究其原因，是不会利用题目中提供的线索提取相关的知识，以及对解常规数学题的策略知之甚少，不会运用相关数学思想和方法，对有关知识的理解过于肤浅。要改善此状况，除了要深刻理解基本知识点外，还要通过数学习题教学，从读题、基本解题策略，及数学思想方法的运用和主干知识的深刻理解与融会贯通方面入手，提高解题能力。

1.重视读题，学会读题

无论是做基本题还是中等难度题，读题都是极其重要的环节。有不少基本题的读题过程就是解题过程。要注意题面上重要的数学概念和表达式，领会其含义，用字母符号或图形语言加以表达，或把一些结论、所求或表达式换一种表达方式，使之更加具体、明确，便于解题。此外，会注意观察、联想，注意数学对象间的联系，及已知与所求间的联系，找出自已能做的事情，能推导出的结论。通俗地说，就是能解其意，尽量用数学式子或图形来表达，常常要换种说法，能做什么就先做什么，不断找到新的结论，找到新的要做的事。另外，求简与求同是两条原则，围绕已知与所求组织解题过程。

例题1.已知ABC的三个内角为A、B、C，所对的边分别为a、b、c，若ABC的面积为，a=3，B=，求b.

分析：（1）领会三角形面积的含义，注意到三角形面积与两边及其夹角之间有联系。（2）根据围绕已知与所求组织解题过程的原则，应选择B、a、c、SABC间的联系，可求得c.（3）继续寻找能做的事，观察到B、a、c与b有联系，根据余弦定理，求出b.

例题2.若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且 x∈[-1，1]时，f（x）=1-x2，函数g（x）= ，求函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内零点的个数。

分析：（1）注意到f（x+2）=f（x），表明y=f（x）（x∈R）是周期函数，最小正周期为2.（2）先作出f（x）=1-x2 （x∈[-1，1]）的图象（如下图），恰为y=f（x）（x∈R）一个周期内的图象。（3）可得出y=f（x）（x∈[-5，5]）的图象。（4）继续寻找能做的事，可作出g（x）的图象。注意到 h（x）=f（x）-g（x） （x∈[-5，5]）零点个数的含义，即曲线 f（x）与g（x）交点的个数。从图中得出在区间[-5，5]内 h（x）零点的个数为8.

2.注重数学解题的基本策略、数学思想和方法的运用

遇到一个综合性较强、有一定难度的数学题时，除了要认真读题外，还要注重数学解题的基本策略、数学思想和方法的运用。通过一定量的例题，让学生体会数学思想的意义和价值，及使用的情形，掌握解常规问题的基本思考方法。要特别注意引导学生体会高中数学各主干知识的核心思想、研究问题的基本方法，以便找到一些复杂问题的切入点。当然，也要注意引导学生做解题后的反思，包括其中所包含数学思想和方法的运用、解题基本策略，总结常见数学问题的解法。

例题3.已知圆O：x2+y2=34，椭圆C：+=1.

1.若点P在圆O上，线段OP的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点P的横坐标。

2.证明：过圆x2+y2=a2+b2上任意一点Q（m，n），作椭圆+=1的两条切线，这两条切线互相垂直。

第1小题分析：（1）根据解析几何的特点，以代数方法研究几何问题，可知此题应首先把点、直线、曲线，及直线与曲线的位置关系全部代数化。设P（s，t），OP的中点M（+），椭圆右焦点F2（4，0），（2）求OP和MF2的斜率分别为k1、k2，（3）位置关系代数化，由点P在圆O上，得s2+t2=34，并且k1・k2=-1，可得到关于s、t的两个方程，从而求出s、t.

第2小题分析：（1）运用特殊化的解题策略和数形结合的思想方法，分析符合题意的两条切线是否存在。结合图形（如下图），易知存在这样的两条切线。（2）把点、直线位置关系代数化。过点Q（m，n）的切线方程为y-n=k（x-m）. （3）直线与曲线的位置关系代数化。切线方程与椭圆方程联立，消元后得到一个一元二次方程，由切点性质，推得判别式=0，整理得（m2-a2）k2-2mnk+（n2-b2）=0.（4）注意本题的解题目标是k1・k2=-1，据此确定下一步应表示出k1・k2=（m≠±a）. 考虑到点Q（m，n）在圆O上，m2+n2=a2-b2，从而证得k1・k2=-1，得出两切线互相垂直的结论。最后要引导学生借助解题过程归纳总结出成功解题的经验。

高中数学的知识点及公式 篇六

关键词：移动学习；数字化资源；微信公众平台

中图分类号：G434 文献标志码：A 文章编号：1673-8454（2017）05-0041-04

一、引言

现代信息技术的发展，促使人们之间的交流变得越来越方便，媒体技术发展日益体现出移动性、交互性、个性化等特点。这种移动性、交互性的媒体技术正不断被应用于教育领域，各高校均加强建设数字化资源，同时不断更新教学平台以而适应现代信息技术的发展。在众多新型媒体技术中，移动学习悄悄兴起，逐渐成为现代教育中一种新型的学习方式[1-5]。微信作为新型的网络社交工具，将人际互动、信息传播等功能融为一体，在信息技术、移动通信的快速发展下，微信做为新型的教育工具逐渐被公众接受[6-8]。而腾讯公司推出的微信公众平台，不仅可以编译图文信息，而且可利用平台实现信息群发，同时支持用户之间的交流、沟通，成为信息时代重要的社交工具。本文以模拟电子线路为例介绍基于微信公众平台的数字资源建设及移动学习改革。

二、必要性和可行性

1.学生学习方式逐渐改变，教学资源及方式应逐步改善

信息化时代的发展使学习者的学习环境和学习方式发生较大转变。学生的学习环境不再局限在教室、课堂之上，而逐渐转向线下、线上同时学习；学生获取知识的途径不仅仅局限在课本上，更多的将依靠数字化资源。学生获取知识的工具不再是课本，而更多的依赖网络、电脑，移动设备（手机、iPad）等。

在对学生的问卷调查中，当学生碰到问题时，解决问题的途径由图1的问卷调查可以发现，有76%的学生会选择查询网络资源。

同样在图2所示问卷调查中发现，83%的同学观看过相关视频，而且95%的学生赞同利用移动设备学习知识点，几乎全部学生会接受利用手机观看数字化的教学资源。

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》指出：信息技术对教育发展具有革命性影响，必须予以高度重视[9]。信息化时代的发展决定了教学资源在形式上发生较大变化。教学资源逐渐由传统的、单一的教材向立体化、数字化的方向发展，这也是现代信息技术发展促使教学资源不断变化，而这种立体化、数字化的教学资源更容易被学生所接受。

由此可见，教学资源数字化、教学方式现代化是势在必行的。

2.国内外都在逐步推进移动化的教学方式改革

移动学习（M-Learning）在国内外悄然兴起，移动学习是现代信息技术与教学资源数字化发展相结合的一种新型信息化学习形式。2000年国际著名的远程教育专家德斯蒙德・基更（Desmond Keegan）博士在上海电视大学校庆提出移动学习，并在其发表的论文《从远程学习到电子学习再到移动学习》中阐述了移动学习的特点[4]。

北京大学现代教育技术中心对移动学习的定义为：移动教育（M-Learning）是指依托目前比较成熟的无线移动网络、国际互联网以及多媒体技术，学生和老师通过使用移动设备更为方便、灵活地实现交互式教学活动。简单而言，移动学习就是使学生能随时、随地、利用移动设备方便的获取必须的教学资源，利用碎片化时间进行学习，同时能通过移动平台和教师、学生进行互动交流[10]。

由此可见，移动学习有以下特点：1）内容碎片化；2）内容简洁明了、短小精悍；3）满足学习者的个性化需求；4）具有一定的互动性。

3.目前国内数字资源建设中存在的问题

教育部《教育信息化十年发展规划（2011-2020年）》指出，人民群众教育需求和世界发达国家水平相比还有明显差距，加快推进教育信息化还面临诸多的困难和挑战[10]。

（1）数字化资源建设缺乏长效机制。近几年，我国教育界不断开展了教学信息化方面的活动，但是这种活动缺乏长效机制，导致教育者开发制作数字化教学资源的动力不足，数字化教学资源建设进度缓慢，这在一定程度上导致MOOC教学及移动学习现代化教学手段很难普及。

（2）数字化资源没有实现“本土化”。目前，更多的是实力雄厚的高校进行数字化资源建设，而且内容偏向本校。这些资源兼容性比较差，直接被以本科教育为主的学校引入后，会出现“水土不服”的现象，因此根据相应的教学计划制作对应的数字化资源显得尤为重要，也就是实现数字化资源“本土化”。

（3）优质课程资源基数少，建设速度缓慢。我国虽然在高校内开展精品课程建设，但课程内容大多为PPT、教案等一般性教学资源，视频资源所占的比重很小，针对性不强，因此学生对精品课程使用率低，而且很多教师仅仅停留在以申报课题为目的，并没有形成长效的建设计划。

（4）数字资源对应课程较为单一。

（5）缺少相关业务培服务。高校中有很多教师教学经验十分丰富，但在信息化手段与教学相结合方面存在较多问题，缺乏制作数字化资源方面的知识和手段。若想利用数字化资源进行教学，必须要有相关的培训服务来做支持。

由此可见，为推进教育信息化的顺利进行，不断加强教学资源数字化是首当其冲的任务。

4.微信公众平台的优势

微信公众平台开放接口丰富、用户体验良好、用户群体庞大、社交功能强大，结合现有数字化资源，可为广大学生构建了交互性强的移动学习环境。微信公众平台的这种特点恰好符合移动学习的特点，因此微信公众平台在高校作为一种方便、快捷的移动学习方式已日益得到师生的认可。可见基于微信的移动学习，可促使学习者利用智能移动设备随时随地进行学习，同时微信良好的交流平台，不仅有利于教学资源的共享，也有利于师生之间的互动、交流，为现代教学提供良好的教学平台。

三、构建移动学习平台

1.申请微信公众平台

教师首先申用于移动教学的微信公众平台账号，图3为申请的“漫步紫金微课堂”的微信公众平台的二维码，学生扫二维码可关注该微信公众号，然后学生可使用微信公众号中的教学资源进行个性化学习，同时遇到问题时可通过公众平台向老师获取个性化指导。同时，为了便于管理，教师可以对用户进行编组，组建学习小组，根据实际情况可以对不同的小组发送不同的教学内容。

2.建设数字化教学资源

利用微信公众平台进行移动学习改革，建设相应的数字化教学资源是首当其冲的任务，移动学习的教学资源有其自身的特点，在建设过程中应遵循教学资源微型化、知识点碎片化、知识点联系化、图文信息直观形象化的原则。

（1）教学资源微型化

移动学习在一定程度上扩展和补充了传统的教学和学习的模式，是课堂的延伸，便于学生利用零碎化的时间巩固、补充知识。移动学习的学习模式与传统的固定、持续的学习方式不同，移动学习的环境属于“非预定、非固定”的，学习者完全可以利用零碎化时间学习，学习地点不仅可以是教室、图书馆，也可以是操场甚至是环境比较嘈杂的公共场所等。在移动学习环境下，有时人的注意力容易受到影响，Stanford University的一项研究成果表明，当学习者处于零碎化、移动化的环境时，人的注意力容易受到外界环境的干扰[11]。因此，在设计移动学习资源时，资源内容应该是微型化的，每个图文信息呈现的内容可以为一个知识点的讲解，也可以为一个例题的分析解答，也可以是某个内容的总结，学习者在短时间内可以完成对图文信息的学习，在一定程度上满足移动学习微型化的要求。

（2）知识点碎片化

移动学习中，学习者时间的零碎化必然要求知识点的碎片化。基于移动学习的数字化教学资源设计，要求知识点碎片化，将课程中原有知识体系有机地拆分、细化，以适应移动学习特点的要求。知识点碎片化过程中应避免知识点过于庞大、篇幅过长，避免视频时间过长，应尽可能小篇幅、简单结构的知识点。例如斯坦福学习实验室的每个知识模块的学习时间控制在30 秒～10 分钟之间[11]。此外，移动学习作为传统教学的辅助手段，其知识点呈现形式与课堂讲解的形式不同，应该是知识的总结、巩固与升华。在对模拟电子线路知识点碎片化中，通过分析提炼出36个重要的知识点，包括重要的方法，典型题目的分析，相关知识点的分析与比较，同时将理论分析与仿真验证相结合，加深学生对知识点的理解。每个知识点都编辑成公众平台的“图文信息”，在图文信息中利用文本、图片、视频呈现教学内容，视频时间控制在3-10分钟，学生在10分钟之内可以完成对该知识点的学习。

（3）知识点联系化

知识点碎片化并不是学习内容简单的分割，并不意味着各知识点之间没有任何联系，在知识点碎片化过程中要按照学科知识体系特点以及知识点的相关性、层次性，有机地将知识点进行片段化的梳理，同时要注意已学知识点和将要学习知识点之间的联系，这样可以使学习者更好的掌握知识点，提高对知识点的理解和应用。知识点的划分还要以学生为中心，遵循学生对知识的认知规律，同时碎片化过程中要保持某个知识点前后联系，内容完整、结构逻辑性强。

例如：模拟电子线路中的功率放大电路，首先总结了功率放大电路需要用到哪些已学过的知识点，同时也列出需要掌握的知识点和分析方法，用关系图的形式展示，如图4所示。这种结构图清晰明了，学习者可以直接了解知识之间的联系，并逐渐学会用所学知识解决新问题。在制作“图文信息”时，更侧重于对各类功率放大电路的比较分析与总结。扫描视频的二维码可以观看功率放大电路部分的视频。

同时，每个“图文信息”虽然篇幅较短，但是也要注重内容的完整性，“漫步紫金微课堂”中的每一个模拟电子线路的图文信息都由5部分组成，如图5所示，包括标题、引言、正文、总结、思考。

引言简要说明该“图文信息”讲解的内容，正文利用文本、图片、视频展示知识点，总结部分呈现该图文信息的重要点，思考部分提出新问题，提示学生用本次学习的知识点解决新问题。

（4）图文信息直观形象化

用于移动学习的移动终端屏幕大小有限，若每屏信息过多、过繁会使学习者产生焦躁的情绪，失去学习的耐心。因此设计教学媒体信息时，界面尽可能做到简洁明了，色彩搭配合适，减少多余的干扰信息。同时，为了方便学习者能够快速找到所需的信息，可以设计相应的菜单、目录，对知识的重难点用醒目的颜色标注。例如我们在“漫步紫金微课堂”下方设置了相关菜单，包括“必要的基础知识”、“各章知识点总结”、“每章PPT”。不知识点的媒体表现形式可以多样化，不同的知识点可以采用不同的方式呈现，按照知识点的特点，可以选择文本、图片、视频、动画等形式呈现。例如：对于模拟电子线路中的重要概念（偏置、动态性能指标等）、重要方法（静态分析、动态分析等）采用文本的形式呈现，文本字体不可过小，行距不可过窄；而知识点的结构图则用图片的形式呈现，直观形象；题目的求解过程，仿真验证过程等则用视频的形式呈现；抽象的知识点则用动画的形式呈现，形象化的方式便于读者理解。

四、信息与反馈

数字化资源建设完成且微信公众平台构建完成后，就可以向学习者教学资料了。

根据教学进度利用微信公众平台的“群发功能”不同的图文信息。教师也可以根据情况讨论题、练习题等，同学、老师之间可以互动讨论。在每个图文信息下方都预留了留言栏，学习者在遇到难题时，可以根据自身情况向老师提出疑问，教师可以在后台看到学生的留言候，可以进行实时解答。学生在自主学习过程中，也可根据自身情况学习相关的知识点，制定个性化的学习进程。通过师生互动，教师可以根据学生的实际情况为学生提供个性化指导，为学生自主学习提供支持与帮助。

教师可以利用微信公众号后台的数据统计功能查看学生学习的情况，可以统计关注公众号人数的变化情况，可以统计菜单观看次数与人数，可统计图文信息的阅读人数和阅读次数等。我们统计了近一个月以来图文信息的阅读人数和阅读次数，如图6所示，从统计结果可以看出，有的图文信息阅读人数较多，而且每个人观看次数超过一次，如9月13日的图文信息阅读总人数约300，总阅读次数达到1100次，每人阅读次数接近4次，9月25日的图文信息阅读人数和阅读次数也很多，这在一定程度上说明学生对这部分知识点存在疑问，这些知识点存在一定的难度。这些数据提醒教师，有些知识点学生掌握的比较好，有些知识点学生没有理解透彻，教师应该在后续的课程中加强对这些知识点的讲解。

这种统计数据，微信公众平台每天都会更新，教在图文信息后应关注学生学习的情况，根据统计数据有的放矢，提高教学效果。

五、总结

作为教师，要将传统教育的优势与现代教学理念与教学方式有机结合，不断丰富数字化教学资源，不断更新教学方式和教学平台，将线上环境和传统课堂环境有机结合，一方面为教师创建优越的施教环境，另一方面赋予学生个性化、完整、深度的学习体验，使学生自主、积极的投入到学习中，提高学习效率[12]。

实践证明，基于微信公众号的移动学习是一种行之有效的现代学习方式，这种学习方式充分利用移动媒体工具，依靠方便快捷的通信网络，增强了师生之间的互动交流，拓宽了学生获取知识的途径。

参考文献：

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[2]Park，Y..A Pedagogical Framework for Mobile Learning：Categorizing Educational Applications of Mobile Technologies into Four Types[J].International Review of Research in Open and Distance Learning， 2011，（12）：78-102.

[3]郭绍青，黄建军，袁庆飞。国外移动学习应用发展综述[J].外国电教，2011（5）：105-109.

[4]王佑镁，王娟，杨晓兰，伍海燕。近二十年我国移动学习研究现状与未来趋势――基于中西方对比的研究综述[J].现代远程教育研究，2013（1）：49-55.

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[7]李丹妍，曹杰颖。我国教育领域微信应用可视化研究[J].中国电化教育，2016（350）：39-43.

[8]范文翔，马燕，李凯，邱炳发。移动学习环境下微信支持的翻转课堂实践探究[J].开放教育研究，2015，21（3）：90-97.

[9]教育信息化十年发展规划（2011-2020年）[J]，中国教育信息化，2012（5）.

[10]翟雪松，袁婧。MOOC在我国高等教育中的发展困境及对策研究[J].电化教育研究，2014（10）：97-103.

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