数学史论文（优秀5篇）

数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。以下内容是差异网为您带来的5篇《数学史论文》，在大家参考的同时，也可以分享一下差异网给您的好友哦。

数学史融入中小学数学课程论文 篇一

今年的寒假出奇的漫长，在这漫长的寒假里，我读了一本我不怎么喜欢的书——《数学史》，为什么不喜欢呢？是因为我很多不懂，但是读着读着我就喜欢上了，《数学史》记录着人类数学历史发展的进程，读了它，我有一点肤浅的体会。

体会一：数学源自于与生活的需要与发展。

书中写到：人类在很久之前就已经具有识辨多寡的能力，从这种原始的数学到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢渐进的过程。人们为了方便于生活便有了算术，于是开始用手指头去“计算”，手指头计数不够就开始用石头，结绳，刻痕去计计数。例如：古埃及的象形数字；巴比伦的楔形数字；中国的甲骨文数字；希腊的阿提卡数字；中国筹算术码等等。虽然每种数字的诞生都有不同的背景与用途，以及运算法则，但都同样在人类历史发展和数学发展起着至关重要的作用，极大地推动了人类文明的前进。

体会二：河谷文明和早期数学在历史的长河一样璀璨夺目。

历史学家往往把兴起于埃及，美索不达米亚，中国和印度等地域的古文明称为“河谷文明”，早期的数学，就是在尼罗河，底格里斯河与幼发拉底河，黄河与长江，印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的。埃及人留下来的两部草纸书——莱茵徳纸草书和莫斯科纸草书，还有经历几千年不倒的神秘金字塔，给后人诠释了古埃及人在代数几何的伟大成就，也给后人留下了辉煌的文化历史，而美索不达米亚在代数计算方面更是达到令人不可思议的程度。三次方程，毕达哥拉斯都是它创造的不朽的历史，在数学史上的地位是至关重要的。

古人云：读史使人明智。读了《数学史》让我明白：数学源于生活，高于生活，最终服务于生活，运用于生活。

有关数学史的论文下载 篇二

浅析中学数学教学中数学史的运用

在中学数学教学中，教师在讲解某一知识点时，将与该知识相关的资料讲述给学生听，比如数学家研究出该知识点时采用的方法、运用的路径等，也就是说在教学过程中适当的将数学史分析给学生，从而让学生能够掌握学习数学的方法，同时还可以拓宽学生的知识面，由此可见，在中学数学教学中，数学史拥有着非常重要的作用，因此，研究数学史的应用对中学数学教学来说有十分重要的现实意义。

1 数学史的教育价值

1.1 能够培养出学生的数学创造性思维能力

在数学教学的过程中，不止要让学生掌握数学知识，还要让学生具备一定的创造性思维能力，具备利用数学知识解决实际问题的能力，这已经发展成为数学教育界的共识，为了完成这一目标，教师在进行中学数学教学时，根据数学史来设计教学内容，有利于培养学生的创造性思维。

1.2 帮助学生认识数学，理解数学思想

在实际的中学数学学习中，有很大一部分学生认为数学既枯燥又难学， 这个现象的存在除了教师的教学方法不恰当之外，学生自身的错误认识也是很重要的原因。 但是如果在中学数学教学过程中恰当的渗透相关数学史内容，不仅可以调动起学生学习数学的兴趣，还可以帮助学生认识数学，理解数学思想，掌握数学学习技巧。

1.3 培养学生的爱国主义精神

在数学方面，我国古代取得了比较灿烂的数学成就，而且有些成就的提出时间要比国外早很多，比如正负数的概念就是我国最先提出的。 在中学数学教学的过程中，通过相关数学史的介绍，让学生充分了解我国灿烂的数学文化，进而培养出学生的爱国主义精神，并增强民族自豪感。

1.4 培养文化素养

在人类发展的过程中，积累并形成了大量的文化，数学作为文化中的重要组成部分，在提高人们的文化素养方面也具有非常重要的作用。 实际上，数学史就是数学文化发展的历史，因此在中学数学教学的过程中，将数学史科学的融入进去，让学生了解并认同数学文化，进而有效的提升自身的文化素养。

1.5 激发学生的学习兴趣

在学生学习数学的过程中，兴趣是最好的学习动机，然而在现阶段的数学学习过程中，学生的学习动机并不明确，导致学生对数学的学习无兴趣，最终影响到数学教学效果。 但是在数学史中，有很多内容都能激发出学生的学习兴趣，比如巧拿火柴棒游戏、哥德巴赫猜想等，这样一来，学生学习数学的兴趣被调动起来，有效的提升了数学教学的效果。

2 数学史材料的选取标准

2.1 科学性与趣味性相结合

所谓科学性， 是指选择的数学史材料内容要符合史实，而且教师在传授数学史时，不能随意更改数学史的内容，更不能虚构数学史内容，要做到尊重历史、尊重事实。而趣味性，是指选择的数学史材料内容要生动或者曲折，以便于能够活跃课堂气氛，调动学生学习的积极性，让学生参与到数学教学过程中。在实际的教学中，教师要做到科学性与趣味性相结合，提高教学效果。

2.2 广泛性与实用性相结合

数学史涵盖的范围非常广，在选择数学史材料时，要选择能够反映不同时期、不同国家、不同文化背景的数学知识，这也是广泛性的要求； 实用性是指所选择的数学史材料要对学生的学习有帮助。将广泛性与实用性结合起来，不仅可以拓宽学生数学文化知识的知识面，还可以直接促进学生的发展，教师在进行教学的过程中，要实现广泛性与实用性相平衡。比如在讲授勾股定理的证明时，可以将国内外的证明方法都演示给学生看，以便于学生能更好地掌握勾股定理。

2.3 可接受性与目的性相结合

教师在选择数学史材料时，要充分的考虑学生的接受能力，要保证最终选取的数学史材料能够与学生所掌握的旧知识以及即将学习的新知识都有联系， 而且在数学史材料中涉及的数学知识难度要适中，以略高于学生的水平为最佳，这样才能达到教学的目的。

3 中学数学教学应用数学史的教学原则

3.1 指导性原则

在中学数学教学的过程中， 教师在选择数学史及运用数学史时，要充分的考虑学生的思考过程中，尽量的做到数学史教材化，实现数学知识与数学史的有机融合。 实际上，数学教学的效果在很大程度上受到二者有机整合的影响，一般来说，整合的过程包括数学史与相关数学知识间的融合、 数学史与学生之间的整合，只有做到有机整合，才能收获更好地教学效果。

3.2 选择性原则

在数学教学的过程中， 根据学生的实际学习水平及学习需求，有选择性、有针对性的将数学史内容融入到教学内容中，另外，根据具体的数学知识在教学中的作用，有选择的融入不同作用的数学史。

3.3 研究性原则

在数学史中，蕴含了数学知识及数学思想的演变进程。在学生学习数学知识的过程中，会因为不理解而产生困惑，学生的这种困惑通过数学史就可以很好地解决。因此，教师要详细的研究数学的概念、理论、方法等的变迁，从中总结出教学难点并重新构建，以便于能够更好的解答学生的困惑，让学生理解并掌握数学思想。

4 中学数学教学应用数学史的方法

4.1 通过方法的比较，引导学生发现学习

从总体上看， 教学内容可以划分为表层知识及深层知识两个层次，表层知识是指数学概念、性质、公式、定理等基本知识，而深层知识是指数学思想和数学方法。 深层知识并不是独立存在的，而是蕴含在表层知识红，需要经过分析及挖掘之后才能掌握，因此，教师在进行教学的过程中，要将相关知识的深层知识渗透给学生，让学生的认识达到质的飞跃。 在实际的教学中，教师可以对相关问题的中外解决办法进行对比， 从对比中让学生学会学习处理数学问题的方法。 比如在证明 1+2+3+……+n=1/2n(n+1)时，教师可以将数学归纳法及数学结合的方法来演示证明过程，从而让学生更好的认识数学思维。

4.2 从具体问题出发，引发学生积极思考

在数学教学过程中， 教师要尽量的将数学的创造过程反映给学生，并能够引导学生积极的对该创造过程进行思考，从而在理解的基础上予以把握，为了良好的实现这一教学目标，就需要教师根据教学内容创设恰当的情境， 让学生置身情境中去发现真理，只有这样，学生才能真正的学会数学知识。 比如等差数列教学，可以利用杨辉的“三阶幻方”来辅助教学，以提升教学效果。

4.3 利用数学史开展探究性学习

研究性学习针对的是学生的学习过程， 通过对知识的研究和探索， 从而有效地提升自身的思维能力及解决实际问题的能力。 在数学教学中，开展探究性学习要以数学史为基础，充分培养学生自主学习的能力。 对于大部分的数学概念、定理来说，都是经过推理得到的，但是教材中只是将结果呈现给学生，缺乏推理的过程，因此，教师可以通过数学史的融入，将过程呈现在学生面前，让学生进行充分的联想、分析及观察，提升学习的兴趣，引导学生主动探究。

4.4 利用历史上的名题

在数学史中蕴含了大量的名题， 这些名题教师可以直接拿来教学，比如希腊三大几何难题、《九章算术》中的应用题等。 通过历史名题的教学， 可以让学生很好地掌握数学思想及数学方法，并培养出学生的创造性思维，提升学生利用数学知识解决实际问题的能力。

4.5 利用历史上的逸闻趣事

在选择数学史内容时，除了注重知识性之外，还要具备趣味性，因此，在教学中，教师可以将一些数学家的成长过程、逸闻趣事等介绍给学生听。很多的数学家成长过程都是比较坎坷的，教师将数学家的这些经历介绍给学生， 不仅可以帮助学生建立克服困难的信心，还可以激励学生励志学好数学。

传统的中学数学教学只是单纯的传授数学知识， 这不利于学生数学思维的培养，学生也无法掌握数学思想，从而降低学生利用数学知识解决实际问题的能力。为了有效的改善这个问题，在数学教学中应用了数学史，让学生了解数学概念、定理、法则、公式等内容的演变过程，从而使学生更好的掌握数学方法，学会学习数学，真正的提高自身的数学思维及数学能力。

参考文献：

[1]缪 希学。试谈数学史在中学数学教学中的应用[J]。陇 东学院学报，2010,(05)：123-124.

[2]陶良胜。浅谈数学史教育在中学数学教学中的作用[J]。宿州教育学院学报，2011,(03)：75-76.

[3]亥仁古力·麦麦提。数学史在中学数学教育中的价值体现[J]。河北北方学院学报（自然科学版），2011,(04)：20-22+31.

[4]肖敏芳。浅谈数学史在大学数学教学中的应用[J]。科教文汇（上旬刊），2014,(11)：39-40.

[5]王传利，薄艳玲。关于数学史融入中学数学教学的思考[J]。湖南第一师范学院学报，2014,(03)：29-33.

《数学史》读后感 篇三

最近一段时间，我花两天时间认真阅读了《这才是好读的数学史》这本书。这使得我对数学的发展有了更多的了解。

通过这本书的内容，我了解到了数学是如何发展起来的，和一些为数学发展做出过巨大贡献的集体或个人。从这本书里，我知道了，数学是从古代中东地区发展起来的，在经过一段时间的发展后，之后便在古希腊，印度，之后再是伊斯兰帝国成长和发扬光大，后来再在欧洲得到进一步的发展。这本书还告诉了我，数学不是男性的天下，因为书里还提及了一些十分杰出的女性数学家，她们也为数学的发展做出了巨大的贡献。

数学史是一个庞大的内容，可以说，自从文明开始，就有了人去研究和在生活之中使用数学，数学为人们的生活带去了巨大的便利。这本书在做表述数学史这一庞大的内容时，还将其尽量简化，简化成了几个板块并且还是用十分生动的有趣的语言，但这样也有缺点，就是有很多其他的事情没有介绍到，同时对于中国的数学，作者可能是没能找到太多相关的资料，所以并没有介绍太多。

《这才是好读的数学史》这本书先是说了数学在各个古代文明中的发展，之后又讲了其中世界上有名的数学科目，并分别介绍了在这些方面出名的数学家，在后面又讲到了现代数学，通过这儿我知道了，我们现在所学的数学是非常古老的，几千年前的东西了，我们甚至连中世纪的水平都没达到，也由此可以看出数学的发展之快。数学在一次次的个性与进步当中，变得越来越深奥，难以理解。

从千年前的1+1=2再到函数，再到微积分，再到现代数学，数学也开始运用在更多地方，像航天，工程等，所以说，只有学好数学才能为社会做出更大的贡献。

数学史的论文参考 篇四

浅谈流形概念的演变与理论发展

一、引 言

流形是 20 世纪数学有代表性的基本概念，它集几何、代数、分析于一体，成为现代数学的重要研究对象。 在数学中，流形作为方程的非退化系统的解的集合出现，也是几何的各种集合和允许局部参数化的其他对象。〔1〕53物理学中，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。

流形是局部具有欧氏空间性质的拓扑空间，粗略地说，流形上每一点的附近和欧氏空间的一个开集是同胚的，流形正是一块块欧氏空间粘起来的结果。 从整体上看，流形具有拓扑结构，而拓扑结构是“软” 的， 因为所有的同胚变形会保持拓扑结构不变，这样流形具有整体上的柔性，可流动性，也许这就是中文译成流形(该译名由着名数学家和数学教育学家江泽涵引入)的原因。

流形作为拓扑空间，它的起源是为了解决什么问题？ 是如何解决的？ 谁解决的？ 形成了什么理论？这是几何史的根本问题。 目前国内外对这些问题已有一些研究〔1-7〕，本文在已有研究工作的基础上，对流形的历史演变过程进行了较为深入、 细致的分析，并对上述问题给予解答。

二、流形概念的演变

流 形 概 念 的 起 源 可 追 溯 到 高 斯 (C.F.Gauss,1777-1855)的内蕴几何思想 ,黎曼(C.F.B.Riemann,1826-1866)继承并发展了的高斯的想法，并给出了流形的描述性定义。 随着集合论和拓扑学的发展，希尔伯特(D.Hilbert,1862-1943)用公理化方案改良了黎曼对流形的定义， 最终外尔(H.Weyl,1885-1955)给出了流形的严格数学定义。

1. 高斯-克吕格投影和曲纹坐标系

十八世纪末及十九世纪初，频繁的拿破仑战争和欧洲经济的发展迫切需要绘制精确的地图，于是欧洲各国开始有计划地实施本国领域的大地测量工作。 1817 年，汉诺威政府命令高斯精确测量从哥廷根到奥尔顿子午线的弧长， 并绘制奥尔顿的地图，这使得高斯转向大地测量学的问题与实践。 高斯在绘制地图中创造了高斯-克吕格投影， 这是一种等角横轴切椭圆柱投影，它假设一个椭圆柱面与地球椭球体面横切于某一条经线上，按照等角条件将中央经线东、西各 3°或 1.5°经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上， 然后将椭圆柱面展开成平面。

采用分带投影的方法，是为了使投影边缘的变形不致过大。 当大的控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。 高斯-克吕格投影相当于把地球表面看成是一块块平面拼起来的， 并且相邻投影带的坐标可以进行换算。 这种绘制地图的方式给出了“流形”这个数学概念的雏形。

大地测量的实践导致了高斯曲面论研究的丰富成果。 由于地球表面是个两极稍扁的不规则椭球面，绘制地图实际上就是寻找一般曲面到平面的保角映射。 高斯利用复变函数，得出两个曲面之间存在保角映射的充要条件是两个曲面的第一类基本量成比例。 高斯关于这一成果的论文《将一给定曲面投影到另一曲面而保持无穷小部分相似性的一般方法》 使他获得了 1823 年哥本哈根科学院的大奖，也使他注意到当比例常数为 1 时，一个曲面可以完全展开到另一个曲面上。 高斯意识到这个成果的重要性，在论文的标题下面写下了一句话：“这些结果为重大的理论铺平了道路。 ”〔8〕189这里重大的理论就是高斯后来建立的内蕴几何学。

全面展开高斯的内蕴几何思想的是他 1827 年的论文《关于曲面的一般研究》，这是曲面论建立的标志性论述。〔2〕163高斯在这篇文章中有两个重要创举：第一，高斯曲率只依赖于曲面的度量，即曲面的第一基本形式；第二，测地三角形内角和不一定等于 180°，它依赖于三角形区域的曲率积分。 高斯的发现表明，至少在二维情况下可以构想一种只依赖于第一基本形式的几何，即曲面本身就是一个空间而不需要嵌入到高维空间中去。〔3〕32,〔4〕308高斯在这两篇论文中都使用曲纹坐标(u,v)表示曲面上的一个点，这相当于建立了曲面上的局部坐标系。 突破笛卡尔直角坐标的局限性是高斯迈出的重要一步，但问题是：曲纹坐标只适用于曲面的局部，如果想使曲面上所有的点都有坐标表示，就需要在曲面上建立若干个局部坐标系，那么这些坐标系是否彼此协调一致？ 这是高斯的几何的基础。 高斯当时不具备足够的数学工具来发展他的几何构想，但高斯对空间的认识深刻地影响了黎曼。

2. 黎曼的“关于几何基础的假设”

黎曼在 1851 年的博士论文 《单复变函数的一般理论》中，为研究多值解析函数曾使用黎曼面的概念，也就是一维复流形，但流形是什么还没有定义。 在高斯的几何思想和赫巴特(J.F.Herbart,1776-1841)的哲学思想的影响下 ,黎曼 1854 年在哥廷根做了着名演讲《关于几何基础的假设》，演讲中他分析了几何的全部假设，建立了现代的几何观。〔5〕2全文分三部分，第一部分是 n 维流形的概念，第二部分是适用于流形的度量关系，第三部分是对空间的应用。

黎曼在开篇中提到：“几何学事先设定了空间的概念， 并假设了空间中各种建构的基本原则。 关于这些概念，只有叙述性的定义，重要的特征则以公设的形态出现。 这些假设(诸如空间的概念及其基本性质)彼此之间的关系尚属一篇空白；我们看不出这些概念之间是否需要有某种程度的关联，相关到什么地步，甚至不知道是否能导出任何的相关性。 从欧几里得到几何学最着名的变革家雷建德，这一领域无论是数学家还是哲学家都无法打破这个僵局。 这无疑是因为大家对于多元延伸量的概念仍一无所知。 因此我首先要从一般量的概念中建立多元延伸量的概念。 ”〔9〕411从开篇中我们可以看到黎曼演讲的目的所在：

建立空间的概念，因为这是几何研究的基础。 黎曼为什么要建立空间的概念？ 这与当时非欧几何的发展有很大关系。 罗巴切夫斯基(N.L.Lobatchevsky,1793-1856) 和波约 (J.Bolyai,1802-1860) 已经公开发表了他们的非欧几何论文，高斯没有公开主张非欧几何的存在，但他内心是承认非欧几何并做过深入思考的。 然而就整个社会而言，非欧几何尚未完全被人们接受。 黎曼的目的之一，是以澄清空间是什么这个问题来统一已经出现的各种几何；并且不止如此，黎曼主张一种几何学的全局观：作为任何种类的空间里任意维度的流形研究。

黎曼在第一部分中引入了 n 维流形的概念。 他称 n 维流形为 n 元延伸量，把流形分为连续流形与离散流形，他的研究重点是把连续流形的理论分为两个层次，一种是与位置相关的区域关系，另一种是与位置无关的大小关系。 用现代术语来讲，前者是拓扑的理论，后者是度量的理论。 黎曼是如何构造流形呢？他的造法类似于归纳法，n+1 维流形是通过 n 维流形同一维流形递归地构造出来的； 反过来，低维流形可以通过高维流形固定某些数量简缩而成。 这样每一个 n 维流形就有 n 个自由度，流形上每一点的位置可以用 n 个数值来表示，这 n 个数值就确定了一个点的局部坐标。 黎曼这种构造流形的方法显然是受到赫巴特的影响。 赫巴特在《论物体的空间》中提到：

“ 从一个维度前进到另一个维度所依据的方法，很明显是一个始终可以继续发展的方法，然而现在还没有人会想到按空间的第三个维度去假设空间的第四个维度。 ”〔10〕197可看出黎曼受到赫巴特的启发并突破了三维的限制按递归的方法构造了 n 维流形， 这种构造方法体现了几何语言高维化的发展趋势。 从本质上讲， 黎曼的 “流形” 概念与当时格拉斯曼 (H. G.Grassmann,1809-1877) 的 “ 扩张 ” 概念和施莱夫利(L. Schlafli,1814-1895)的 “连续体 ”概念基本一致 .〔6〕83流形应具有哪些特征呢？ 黎曼提到：

“把由一个标记或者由一条边界确定的流形中的特殊部分称为量块(Quanta)，这些量块间数量的比较在离散情形由数数给出，在连续情形由测量给出。 测量要求参与比较的量能够迭加，这就要求选出一个量，作为其他量的测量标准。 ”〔9〕413黎曼在此使用的量块体现了现在拓扑学中的邻域概念的特征，“参与比较的量能够迭加”则是要求两个量块重叠的部分有统一的测量标准， 即保证任意两个局部坐标系的相容性，这在后来由希尔伯特发展为 n 维流形局部与 n 维欧氏空间的同胚。 黎曼这种引入点的坐标的方法并不是很清晰的，这种不清晰来自他缺乏用邻域或开集来覆盖流形进而建立局部坐标系的思想。11〕8在文章第二部分黎曼讨论了流形上容许的度量关系。 他在流形的每一点赋予一个正定二次型，借助高斯曲率给出相应的黎曼曲率概念。 进一步，黎曼陈述了一系列曲率与度量的关系。 曲面上的度量概念， 等价于在每一点定义一个正定的二次型，亦称为曲面的第一基本形式。 自高斯以来，第一基本形式的内蕴几何学几乎一直占据着微分几何的中心位置。 从后来的希尔伯特和外尔的流形的定义可看出，他们都延续了高斯的内蕴几何思想。

3. 希尔伯特的公理化方法

从 19 世纪 70 年代起，康托尔(G. Cantor,1845-1918)通过系统地研究欧几里得空间的点集理论，创立了一般集合论，给出了许多拓扑学中的概念。 康托尔的研究为点集拓扑学的诞生奠定了基础，这使得希尔伯特能够利用一种更接近于拓扑空间的现代语言发展流形的概念。 希尔伯特在 1902 年的着作《几何基础》中引进了一个更抽象的公理化系统，不但改良了传统的欧几里得的《几何原本》，而且把几何学从一种具体的特定模型上升为抽象的普遍理论。在这部着作中他尝试以邻域定义二维流形(希尔伯特称之为平面， 而把欧氏平面称为数平面)，提出了二维流形的公理化定义：

“平面是以点为对象的几何， 每一点 A 确定包含该点的某些子集，并将它们叫做点的邻域。

(1) 一个邻域中的点总能映射到数平面上某单连通区域，在此方式下它们有唯一的逆。 这个单连通区域称为邻域的像。

(2)含于一个邻域的像之中而点 A 的像在其内部的每个单连通区域， 仍是点 A 的一个邻域的像。若给同一邻域以不同的像，则由一个单连通区域到另一个单连通区域之间的一一变换是连续的。

(3)如果 B 是 A 的一个邻域中的任一点 ,则此邻域也是 B 的一个邻域。

(4)对于一点 A 的任意两个邻域 ,则存在 A 的第三个邻域，它是前两个邻域的公共邻域。

(5)如果 A 和 B 是平面上任意两点 ,则总存在A 的一个邻域它也包含 B. ”

〔12〕150可以看出在希尔伯特的定义中，(1)和(2)意味着在平面(二维流形)的任意一点的邻域到数平面(欧氏平面)的某单连通区域上都能建立同胚映射。 (3)-(5)意图是要在平面(二维流形)上从邻域的角度建立拓扑结构。 希尔伯特的定义延续了黎曼指明的两个方向：流形在局部上是欧氏的(这一点黎曼已经以量块迭加的方式提出)，在整体上存在一个拓扑结构。 这个拓扑结构希尔伯特显然要以公理的方法建立 (这一工作后来由豪斯道夫完成，豪斯道夫发展了希尔伯特和外尔的公理化方法，在 1914 年的着作《集论基础》 中以邻域公理第一次定义了拓扑空间)，〔13〕249但与豪斯道夫的邻域公理相比， 他的定义还不完善，比如(3)中描述的实际上是开邻域。 另外，他没有提流形须是一个豪斯道夫空间。希尔伯特已经勾勒出流形的基本框架，随着拓扑学的发展，外尔完善了希尔伯特的工作，给出了流形的现代形式的定义。

4. 外尔对流形的现代形式的定义

(a) 给定一个称为”流形 F 上的点“的集合，对于流形 F 中的每一点 p,F 的特定的子集称为 F 上点 p 的邻域。点 p 的每一邻域都包含点 p,并且对于点 p 的任意两个邻域，都存在点 p 的一个邻域包含于点 p 的那两个邻域中的每一个之内。 如果 U0是点 p0的一个邻域，并且点 p 在 U0内，那么存在点 p的一个邻域包含于 U0. 如果 p0和 p1是流形 F 上不同的两个点， 那么存在 p0的一个邻域和 p1的一个邻域使这两个邻域无交，也就是这两个邻域没有公共点。

(b) 对于流形 F 中每一定点 p0的每一个邻域U0,存在一个从 U0到欧氏平面的单位圆盘 K0(平面上具有笛卡尔坐标 x 和 y 的单位圆盘 x2+y2<1)内的一一映射，满足(1)p0对应到单位圆盘的中心；(2)如果 p 是邻域 U0的任意点，U 是点 p 的邻域且仅由邻域 U0的点组成， 那么存在一个以 p 的像 p′作为中心的圆盘 K, 使得圆盘 K 中的每一点都是 U中一个点的像；(3)如果 K 是包含于圆盘 K0中的一个圆盘，中心为 p′，那么存在流形 F 上的点 p 的邻域 U,它的像包含于 K. ”〔15〕17可以看出，(a)从邻域基的角度定义了 F 是一个豪斯道夫空间。 (b)中的映射为一一的、双向连续的(即同胚)映射，这样(b)定义了 F 中任意一点都有一个邻域同胚于欧氏空间中的一个开集。 外尔给出的这个定义正是现代形式的流形的定义，尽管外尔的定义是针对二维的情形，但本质上给出了流形精确的数学语言的定义， 并且推广到高维没有任何困难。

一般认为，高维流形的公理化定义由维布伦(O.Veblen,1880-1960) 和 怀 特 黑 德 (A.N.Whitehead,1861-1947)于 1931 和 1932 年给出，即把流形作为带有最大坐标卡集和局域坐标连续以及各阶可微变换的点集。 实际上，这种看法没有足够重视外尔1919 年对黎曼讲演的注释， 特别是未能利用外尔1925 年的长文《黎曼几何思想》。 事实上，除了未对高阶微分结构予以明确区分外，外尔的注释和长文中实质上包含了高维微分流形的定义。

三、流形理论的发展

我们上面提到的流形指拓扑流形，它的定义很简单，但很难在它上面工作，拓扑流形的一种---微分流形的应用范围较广。 微分流形是微分几何与微分拓扑的主要研究对象，是三维欧氏空间中曲线和曲面概念的推广。 可以在微分流形上赋予不同的几何结构(即一些特殊的张量场)，对微分流形上不同的几何结构的研究就形成了微分几何不同的分支。 常见的有：

1. 黎曼度量和黎曼几何

仿紧微分流形均可赋予黎曼度量，且不是惟一的。 有了黎曼度量，微分流形就有了丰富的几何内容，就可以测量长度、面积、体积等几何量，这种几何称为黎曼几何。黎曼这篇《关于几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。 但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，黎曼几何只限于小范围的理论。 大约在 1925 年霍普夫(H.Hopf,1894-1971)才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行研究。 随着微分流形精确概念的确立，特别是嘉当(J.Cartan,1869-1951)在 20世纪 20 年代开创并发展了外微分形式与活动标架法， 李群与黎曼几何之间的联系逐步建立了起来，并由此拓展了线性联络及纤维丛的研究。

2. 近复结构和复几何

微分流形 M 上的一个近复结构是 M 的切丛TM 的一个自同构，满足 J·J=-1. 如果近复结构是可积的，那么就可以找到 M 上的全纯坐标卡，使得坐标变换是全纯函数， 这时就得到了一个复流形，复流形上的几何称为复几何。

3. 辛结构和辛几何

微分流形上的一个辛结构是一个非退化的闭的二次微分形式，这样的流形称为辛流形，辛流形上发展起来的几何称为辛几何。 与黎曼几何不同的是，辛几何是一种不能测量长度却可以测量面积的几何，而且辛流形上并没有类似于黎曼几何中曲率这样的局部概念，这使得辛几何的研究带有很大的整体性。 辛几何与数学中的代数几何，数学物理，几何拓扑等领域有很重要的联系。

四、结 语

以上谈到的是流形的公理化定义的发展历史，其线索可概括为高斯---黎曼---希尔伯特---外尔。 导致流形概念诞生的根本原因在于对空间认识的推广：从平直空间上的几何，到弯曲空间上的流形概念的历史演变几何，再到更抽象的空间---流形上的几何。 流形概念的一步步完善与集合论和拓扑学的发展，特别是邻域公理的建立密不可分，(微分) 流形已成为微分几何与微分拓扑的主要研究对象，并发展成多个分支，如黎曼几何、复几何、辛几何等。 所以说，几何学发展的历史就是空间观念变革的历史，伴随着一种新的空间观念的出现和成熟，新的数学就会在这个空间中展开和发展。

参考文献

〔1〕 陈惠勇。流形概念的起源与发展[J].太原理工大学学报，2007(3)：53-57.

〔2〕 D.J.Struik.Outline of a History of Differential Geometry[J].Isis,1933(20)：161-191.

〔3〕 E.Scholz.The concept of manifold,1850 -1950 [C]//I.M.James.History of Topology.Amsterdam:Elsevier Science Publisheres,1999:25-64.

〔4〕 [德]莫里斯·克莱因。古今数学思想：第三册[M].万伟勋，石生明，孙树本，等，译。上海：上海科学技术出版社，2003.

有关数学史的论文下载 篇五

中国古代及近现代数学史探究

中华民族是一个具有悠久历史和灿烂文化的民族，在灿烂的文化瑰宝中数学在世界数学发展史中也同样具有许多耀眼的光环。研究中国的数学发展历程有着重要的现实意义。

1 中国古代数学的发展史。

1.1起源与早期发展。数学是研究数和形的科学，是中国古代科学中一门重要的学科。中国数学发展的萌芽期可以追溯到先秦时期，最早的记数法在殷墟出土的甲骨文卜辞中可以找到记数的文字。如独立的记数符号一到十，百、千、万，最大的数字为三万，还有十进制的记数法。

在春秋时期出现中国最古老的计算工具---算筹，使用算筹进行计算称为筹算，中国古代数学的最大特点就是建立在筹算基础之上。古代的算筹多为竹子制成的同样长短和粗细的小棍子，用算筹记数有纵、横两种方式，个位用纵式，十位用横式，以此类推，并以空位表示零。这与西方及阿拉伯数学是明显不同的。

在几何学方面，在《史记·夏本记》中记录到夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，勾股定理中的“勾三股四弦五”已被发现。

1.2中国数学体系的形成与奠基时期。这一时期包括秦汉、魏晋、南北朝，共400年间的数学发展历史。中国古代的数学体系形成在秦汉时期，随着数学知识的不断系统化、理论化，相应的数学专书也陆续出现，如西汉初的《算数书》、西汉末年的《周髀算经》、东汉初年的《九章算术》以及南北朝时期的《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等一系列算学着作。

《周髀算经》编纂于西汉末年，提出勾股定理的特例及普遍形式以及测太阳高、远的陈子测日法；《九章算术》成书于东汉初年，以问题形式编写，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章，特点在于注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系。

中国数学在魏晋时期有了较大的发展，其中赵爽和刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。赵爽证明了数学定理和公式，详尽注释了《周髀算经》，其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。刘徽的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。

在南北朝时期数学的发展依然蓬勃，出现了《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学着作。最具代表性的着作是祖冲之、祖父子撰写的《缀术》，圆周率精确到小数点后六位，推导出球体体积的正确公式，发展了二次与三次方程的解法。

1.3中国古代数学发展的盛衰时期。宋、元两代是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。出现了一批着名的数学家和数学着作，其中最具代表性的数学家是秦九韶和杨辉。秦九韶在其着作的《数学九章》中创造了“大衍求1术”（整数论中的一次同余式求解法），被称为“中国剩余定理”，在近代数学和现代电子计算设计中起到重要的作用。他所论的“正负开方术”（数学高次方程根法），被称为“秦九韶程序”。现在世界各国从小学、中学、大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律、解题原则。杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家，他在1261年所着的《详解九章算法》一书中，给出了二项式系数在三角形中的一种几何排列，这个三角形数表称为杨辉三角。“杨辉三角”在西方又称为“帕斯卡三角形”，但杨辉比帕斯卡早400多年发现。

随后从十四世纪中叶明王朝建立到明末的1582年，数学除了珠算外出现全面衰弱的局面。明代最大的成就是珠算的普及，出现了许多珠算读本，珠算理论已成系统，标志着从筹算到珠算转变的完成。在现代计算机出现之前，珠算盘是世界上简便而有效的计算工具。但由于珠算流行，筹算几乎绝迹，建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传，数学出现长期停滞。

2 中国近现代数学的发展史。

中国近现代数学发展时期是指从20世纪初至今的一段时间，开始于清末民初的大批留学生的回国后，各地大学的数学教育有了明显的起色，很多回国人员后成为着名的数学家和数学教育家，在世界都具有重要的影响，为中国近现代数学发展做出了重要贡献，这些着名的数学家及其贡献主要有：

2.1陈景润及其代表作。陈景润是世界着名解析数论学家之一。1966年，陈景润攻克了世界着名数学难题“哥德巴赫猜想”中的(1+2)，在哥德巴赫猜想的研究上居世界领先地位，距摘取这颗数论皇冠上的明珠(1+ 1)只是一步之遥，于1978年和1982年两次收到国际数学家大会的邀请，在其他数论问题的成就在世界领域也是遥遥领先的。

2.2华罗庚及其贡献。华罗庚是近代世界着名的中国数学家，对数学的贡献是多方面的。在数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多个复变函数论、偏微分方程及高维数值积分等领域都做出了卓越的贡献。他解决了高斯完整三角和的估计，推进华林问题、塔里问题的结果，在圆法与三角和估计法方面的结果长期居世界领先地位，着作有《堆垒素数论》、《数论导引》、《典型域上的多元复变量函数论》及合着《数论在近似分析中的应用》。他在普及应用数学方法、培养青年数学家等上都有特殊贡献。

2.3苏步青及其成就。苏步青是中国科学院院士，国内外享有成名的数学家。主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究。他在仿射微分几何学和射影微分几何学研究方面取得出色成果，在一般空间微分几何学、高维空间共轭理论、几何外型设计、计算机辅助几何设计等方面取得突出成就，对培养中国早期的数学人才曾起了巨大的推进作用。

2.4吴文俊及其贡献。吴文俊是数学界的战略科学家，现任中国科学院院士，第三世界科学院院士。曾获得首届国家自然科学一等奖(1956)、中国科学院自然科学一等奖(1979)、第三世界科学院数学奖(1990)、陈嘉庚数理科学奖(1993)、首届香港求是科技基金会杰出科学家奖(1994)、首届国家最高科技奖(2000)、第三届邵逸夫数学奖(2006)。他在拓扑学、自动推理、机器证明、代数几何、中国数学史、对策论等研究领域均有杰出的贡献，他的“吴方法”在国际机器证明领域产生巨大的影响，有广泛重要的应用价值。

3 研究中国数学发展史的重要意义。

与自然科学相比，数学是一门积累性科学，国内外许多着名的数学大师都对数学史都有着深远的研究。研究数学发展史可以为我们提供经验教训和历史借鉴，使我们的科学研究方向少走弯路或错路。从数学发展史中，我们要明白数学是一种文化，是形成现代文化的主要力量，是文化极其重要的因素。数学的概念来源于经验，与自然科学的生活世纪密不可分，在经过数学家严格的加工与推理后形成数学这门科学。研究数学的发展历史，弄清一个概念的来龙去脉，一个理论的兴旺和衰落，影响一种重要思想的产生的历史因素，有利于了解数学的现状，指导数学的未来，更好地接受以及学习数学，从历史的发展中获得借鉴和汲取教益，促进现实的科学研究，从而使数学与我们的生活更加贴切。

参考文献：

[1]王青建。数学史:从书斋到课堂[J]。自然科学史研究，2004,2:152.

[2]郁组权着。中国古算解趣[M]。北京:科学出版社，2004,10:138-141:216-218.

[3]李文林。数学史概论（第二版）[M]。北京：高等教育出版社，2002.

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