抛物线的基本知识点通用5篇

在日常生活或是工作，学习中，大家一定都或多或少地接触过一些数学知识，读书破万卷下笔如有神，以下内容是差异网为您带来的5篇《抛物线的基本知识点》，如果能帮助到亲，我们的一切努力都是值得的。

抛物线的基本知识点范文 篇一

1课前备课的分析

1.1教材分析

本节课，课程标准的要求是：“学会用运动合成和分解的方法分析抛体运动”。

合成与分解这种等效分析法，在力的合成与分解中已经用到，在抛体运动中再次用到，凸显这种物理方法的重要性。抛体运动能够把匀速直线运动、自由落体运动、牛顿定律等运动学与动力学知识，以及带电粒子在电场中类平抛运动等知识前后联系起来，起到了非常重要的承上启下作用，是高中物理的重要内容。

1.2学情分析

在学习这节课前，学生已经学习了直线运动中的运动学和动力学的知识、描述曲线运动的基本物理量以及运动合成和分解等知识，这一节要求能用上述知识分析平抛运动，难点很多，如：怎么想到“化曲为直”等效思想、如何理论分析平抛运动的规律、如何设计实验验证猜想、如何从实际模型中抽象出平抛运动、如何求解飞行时间与平抛速度等难点，根据这些特点在教学中设置趣味性、知识性、探究性兼具的物理情景和实验，激发学生的求知欲望和探究欲望，加强他们的理论分析能力，进一步培养他们的科学探究能力。

1.3教学起点、落点分析

本课教学设计的出发点是基于新课程倡导的探究性学习，采用“以实验为基础、以探究为主线、以掌握物理方法和规律为目的”的实验探究式教学模式。

“以实验为基础”，将实验作为解决问题的突破口。任何教师都无法代替学生的亲身动手体验，动手操作是学生参与学习，获取知识的重要方式。整节课从引入到探究到应用，每个环节都有不同类型的实验，把教师演示实验与学生实验相结合，经猜想、设计实验方案、探究规律、实例分析等环节体现了“做中学”的学习新理念。

“以探究为主线”，将科学探究作为解决本节课问题的科学方法。本节课改变以知识传承为目的传统教学模式，让学生经历平抛运动的科学探究的过程，学习科学研究方法，培养学生探索精神、实践能力以及创新意识，使学生掌握科学探究这种新的学习方式。

“以掌握物理方法和规律为目的”，将平抛运动的研究方法和规律作为本节课的学习目标。平抛运动的研究方法和规律在研究物体运动的过程中有承上启下的作用，学生通过“课堂导学单”的引导、合作探究，自主学习等方式，最终初步掌握平抛运动的运动研究方法和规律，完成本节课的学习目标。

2导入情境的设计

(1)课前视频：播放《牛人超震撼滑雪大片近距离感受白色视界》、《赛车手和滑雪爱好者配合的完美表演》、《黄果树大瀑布》三段视频。

(2)演示实验：抛苹果以及外包装给幸运同学

师：为什么抛的远近不同？

生：空气阻力影响不同。

师：物理中把空气阻力可以忽略不计的抛物运动叫抛体运动，抛泡沫包装只能是一般曲线运动。

(3)列举实例：从课前视频中截取三张图片(汽车斜上抛、滑雪者斜下抛、瀑布平抛)从实际情景中引入课题。

生：列举抛体运动的实例(3位同学回答).

师：若学生回答羽毛球平抛，要指出阻力不能忽略。

(4)小结：平抛运动的特点：(初速度、受力、运动性质)：只受重力，速度水平，a=g的匀变速曲线运动。

设计意图设置课前视频和演示实验，从生活情景中构建物理情景，既能活跃课堂气氛，又能让学生了解生活概念与

①重点：平抛运动的规律

②难点：平抛运动的研究方法

解决办法：通过演示实验、猜想、理论分析、实验设计验证等环节引导学生从实验与理论分析平抛运动，总结规律并分析实例学以致用。

4借助于教学目标促进学生创新的手段

4.1限时讲授

学生是教学的主体，教师在教学过程中起主导性作用，既然是主导和主体的关系，那么知识和方法的得到都应该让学生自己去体验、去感悟、去解释和展示。“限时讲授”的目的在于给学生的自主探究活动留下更多的时间，因为学习是从未知走向已知的摸索式、螺旋式前进过程，没有时间的保证，探究无法真正施展。“限时讲授”是教师预设课堂教学的过程，旨在引发学生质疑，激发学生探究的欲望，催化学生自主探究后知识的生成，学生到底能够生成什么样的问题？多少时间能够探究得到知识？存在不确定性。精心的预设能不能生成在教师原先设计的教学轨迹上，有没有意外产生？存在着不确定性。不过学生的探究意识和探究能力却在摸索和探究的过程体验中不断地成长，其本身就是一种成功。

4.2合作学习

有效的教学应该面向全体学生，高效的教学应该不断生成新鲜事物和知识。“合作学习”体现了学生的主体性地位，在课堂上自己与其他学生、与老师是合作伙伴的关系，是主人翁，这样的学习方式，即使学习存有疑惑，也会主动地寻求帮助，而不是像传统教学模式中等着老师把知识和方法灌输给自己。

4.3踊跃展示

教学目标完成的怎么样，让学生自己上来汇报。“踊跃展示”是学生自己汇报探究成果与他人进行实时交流互动的环节，这里的成果是自己探究得到的，是自主学习后的创造性成果，不再是教师要我学的、要求我记住并会用的知识。

物理概念的区别，培养学生在生活中联系物理的习惯。

3探究活动设计

科学探究应该从学生思维的发展出发，首先寻求物理规律的研究方法，接着再经历从定性探究到定量探究的过程，实现规律的获得，最后再将规律应用到实际问题之中，实现知识的内化。

探究一平抛运动的研究方法

(1)演示实验：(自制教具如图1所示)：水平气垫导轨，滑块，电磁铁，小铁球) .

师：介绍装置并演示：调节轨道水平，使滑块做匀速直线运动；控制滑块不动，使电磁铁断电，小球掉入小桶中。提问：①如何使小球在这一装置中做匀速直线运动②小球还能掉进小桶中吗？说出理由。

生：分组讨论，两个小组代表回答。

师：实验并点评，学生已经有了用“化曲为直”等效思想分析问题的意识，这种等效思想用在曲线运动研究上就叫做“运动的合成与分解”。

(2)平抛运动的研究方法：运动的合成与分解。

设计意图从教材的设置上看，前一节通过对“红蜡块运动”的分析，得出研究质点在平面内运动方法――运动合成与分解方法，主要侧重在运动的合成上；而平抛运动中的“化曲为直”思想侧重在运动的分解上，从合成到分解有一个思维的阶梯。通过自制教具，设置一个平抛运动实例让学生从分析问题中得出“化曲为直”这种重要的分析方法，比抽象地从上一节内容直接导出要好的多，可以起到激活学生思维的作用。

探究二定性分析平抛运动规律

(1)猜想并理论分析：水平、竖直方向的做什么运动。

生：分组讨论，一个小组代表回答。

师： 小结，课件展示理论分析的过程。

(2)设计实验：验证平抛运动在竖直方向做自由落体运动。

生：分组讨论，一个小组代表回答。

师：肯定学生回答并对设计方案提出建议。如：要不要同一高度，如何证明同时落地等。

(3)实验验证：自制教具“平抛运动规律演示仪”(如图2)验证研究的结论。

师：介绍实验装置师生共同完成实验。①让两小球从同一高度同时做平抛运动和自由落体运动；②让两小球从同一高滑下，并从同一竖直线做平抛运动和匀速直线运动；③三个球一起运动。

生：设计实验的同学上台演示。

(4)播放“单帧动画” ，进一步验证研究的结论。

拍摄自制教具三球对比实验视频，利用“Image Grabber Ⅱ”软件截取的单帧图片，利用“美图秀秀”把单帧图片合成一个慢板的“单帧gif动画”。

(5)结论：平抛运动在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动。

(6)实例分析：再次分析演示实验中小球为什么还能掉进网袋里。

设计意图突出物理科学探究的一般方法：观察现象―猜想―初步分析―实验探究―得出规律―实例分析。利用自制教具以及多媒体技术，可以使理论的分析的结果直观的显现出来，充分显示出平抛运动的精妙，为定量分析平抛运动规律奠定了基础。

探究三定量研究平抛运动的规律

如图3所示，一物体在竖直平面以初速度v0从O点水平抛出，不计空气阻力，经时间t运动到P点，试回答以下问题：

(1)建立合适的坐标系。

(2)P点的速度

水平分速度vx=；竖直分速度vy=,合速度的大小vt=,合速度的方向与水平方向夹角为α，tanα.

(3)OP的位移

水平分位移x=；竖直分位移y=,合位移的大小s=,合位移的方向与水平方向夹角为β，tanβ.

(4)轨迹方程y=.

设计意图让学生独立完成理论分析，有利于暴露问题，通过现场点评，帮助学生减少一些课后做练习的困难，提高学习效率，达成本节课的知识目标。

探究四平抛运动实例分析

学生分组实验：一只高度固定的饮料瓶中插有一根水平放置的水管，水从管口沿水平方向流出，不计空气阻力。

(1)从水平管口喷出的水流做什么运动？

(2)饮料瓶拿高，体验李白的名句“飞流直下三千尺” ，并解释“直下”两字包涵的物理原理。(让学生分组实验自主探究)

(3)随着水的不断流出，水流在水平方向的射程有什么变化？这一过程中水从管口流到水槽的中时间是否改变？(分组实验，一个小组代表回答)

(4)设计实验测出管口处水流的速度(分组实验)

器材：铁架台，装有水的带孔饮料瓶，透明塑料板，水槽，水笔，刻度尺。

需要测量的物理量：.

管口水流速度的表达式：.

提醒学生每次实验都要控制时间，保证饮料瓶中的水够用。指导生可能遇到的问题，如：饮料瓶放不住；透明塑料板要不要竖直放置；水柱末端分开，不好描轨迹；在塑料板的哪一面描轨迹好；描轨迹的时候要不要纪录抛出点；是不是只有描轨迹才能求出初速度等。

设计意图教材课后作业中有“测流量”模型，据此设计了“喷水”实验，通过设置几个小实验来研究平抛运动的速度变化规律、飞行时间、初速度等一系列问题，虽然都是常规问题，但由于赋予了实验的背景，物理知识被活化了。设计对分析李白诗句的意图是：课本中有对平抛速度偏角的分析，分析瀑布“飞流直下”的原因就可以解决这一问题，可以起到学以致用以及增强理科学生人文情怀的作用。

抛物线的基本知识点范文 篇二

一、教材分析

（一）教学内容的特点

本节课是“抛物线及其标准方程”的第一节课，主要学习内容为抛物线的定义和标准方程。它是学生学习解析几何部分的重要基础知识。这一节课是在学完“椭圆”和“双曲线”的基础上，将研究求曲线方程的方法拓展到抛物线，又是继续学习抛物线的几何性质的基础，同时还为后面学习抛物线的性质做好准备。

（二）教学重点、难点、关键点分析

教学重点：抛物线定义及其标准方程。

教学难点：抛物线标准方程的推导。

（三）教学目标分析

1.知识与技能目标

（1）掌握抛物线的定义和标准方程，明确p的几何意义；

（2）能用抛物线的定义解决一些简单的问题。

2.过程与方法目标

（1）通过抛物线与椭圆、双曲线的类比，培养学生类比归纳能力。

（2）在抛物线定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法。

3.情感、态度与价值观目标

（1）通过对抛物线定义的诠释，培养学生探索数学的兴趣。

（2）增强学生团队协作能力以及主动与他人合作交流的意识。

（3）感受四种形式的抛物线的美。

二、学生分析

（一）学生的知识储备分析

学生已学习了求曲线方程的一般方法和步骤以及椭圆和双曲线的方程，但学生仍对坐标法解决几何问题还存在障碍。

（二）学生的数学能力分析

学生通过几何图形来发现轨迹上点的特征的能力较强（数形结合），但计算能力较弱，因此在方程的推导中会遇到障碍，成为本节的难点。

三、教学方法分析

本课采用引导发现法，即“创设问题―启发讨论―发现结果”的一种研究性教学方法，以画一画、议一议、求一求、用一用几个步骤来实施教学过程。

四、教学过程

（一）引入部分

1.认识抛物线

（1）利用多媒体给出嫦娥一号飞船的运行轨迹图，引起注意。

（2）请学生举出现实生活中所看到有关抛物线的实例。

2.创设情境

提出问题：怎样画出抛物线呢？抛物线在直角坐标系下是否可以像圆一样用方程来表示？

（二）新课部分

1.画一画（画抛物线）

教师请学生拿出课前准备的硬纸板、三角板、细绳、铅笔，同桌一起合作画抛物线。把一根直尺固定在纸板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘，取一根直线，它的长度与另一直角边相等，细绳的一端固定在顶点A处，另一端固定在纸板上点F处。用笔尖扣紧绳子，靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，画出抛物线。

目的：（1）给学生提供一个动手、动脑、动手的学习机会；（2）通过实验可以使学生对探究“满足什么样的条件的点的集合为抛物线”有深刻的理解。

2.议一议（定义及概念）

设问1：通过上述的实际操作，请问抛物线是满足什么条件的点的轨迹？

设问2：为什么要相等？反之，若不相等会怎样？

目的：通过上述的学生实验操作后，先请学生大胆探究、想象，再由教师动画演示，加深对抛物线定义条件的理解。

3.求一求（求抛物线标准方程）

类比于椭圆的学习，来推导抛物线的标准方程。根据抛物线的定义，到定点和到定直线的距离相等，设P是抛物线上任一点，要求抛物线方程，需要借助直角坐标系。已知一条抛物线及其准线，有几种方法建立直角坐标系，并求出方程？（分组讨论设问1：求曲线方程的一般方法怎样？）

设问1：本题中可以怎样建立直角坐标系？（让学生根据自己的经验来确定，可能出现多种方法）

目的：通过对每种方法的分析，找到最适合、最简单的方法。

设问2：与椭圆、双曲线一样，怎样得到不同形式的抛物线的标准方程。（让学生自己建立不同形式坐标系，探索得出结论）

目的：从多个角度认识抛物线，培养学生发散思维。

4.用一用（知识运用）

例1：（1）抛物线y=ax2（a>0）的焦点坐标和准线方程，（2）已知抛物线的焦点在x轴正半轴上，焦点到准线的距离是■，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程。

思考变式：如果（2）的焦点分别在x轴负半轴、y轴的正负半轴上呢？

目的：通过本题的练习，学生能加深对抛物线的焦距与标准方 程之间关系的理解，同时会求标准方程的基本量。

（三）小结部分

通过整理知识，使之形成网络。

提问―小结：本节课学习的主要内容是什么？

目的：培养学生的概括与整体优化能力。

（四）作业部分

通过作业训练，巩固提高。

五、板书设计

充分体现活化知识，对知识加深理解，加深记忆的作用。

六、教学反思

在这节课的教学中，我设计了能让学生动手操作的过程，使学生始终处于问题探索研究状态之中，结合使用多媒体、演示板教学，使展现知识的发生过程形象化。同时还注重让学生在一次次探究、讨论、总结中得出结论，这样不但可以加深学生对定义概念的理解，还能培养学生的实践能力。

抛物线的基本知识点范文 篇三

重点：熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式，会根据抛物线的标准方程研究得出性质，会由几何性质确定抛物线的标准方程。 熟练运用坐标法，理解数形结合思想，掌握相关代数知识、平面几何知识的运用。

难点：把几何条件转化为代数语言，进而把“形”转化为“数”。 选择合理、简捷的运算途径，并实施正确的运算。 灵活利用概念、平面几何知识。

1. 抛物线及其性质的基本思路

求抛物线方程时，若由已知条件可知方程的形式，一般用待定系数法；若由已知条件可知动点的运动规律，一般用轨迹法；凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意运用韦达定理；解决焦点弦问题，抛物线的定义有广泛的应用，还应注意焦点弦的几何性质，针对y2=2px(p>0),设焦点弦为x=my+■,既方便消元，又可避免斜率不存在的情况；可能的情况下，注意平面几何知识的应用，达到“不算而解”的目的。

2. 抛物线及其性质的基本策略

(1)求抛物线的标准方程

①定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程。

②待定系数法：先定位，后定量。根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式，从简单化角度出发，焦点在x轴上，设为y2=ax(a≠0);焦点在y轴上，设为x2=by(b≠0).

(2)焦点弦问题和焦半径

①焦半径：抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F■,0的距离PF=x0+■.

②通径：过焦点F■,0且与x轴垂直的弦PQ叫通径，PQ=2p.

③焦点弦的性质：过F■,0的弦AB所在的直线方程为y=kx-■(k不存在时为通径).

④弦长：AB=x1+x2+p=■(θ为弦AB的倾斜角);x1·x2=■,y1·y2= -p2;■+■=■;以弦AB为直径的圆与准线相切。

在抛物线y2=4x上找一点M,使MA+MF最小，其中A(3,2),F(1,0),求点M的坐标及此时的最小值。

思索 “看准线想焦点，看焦点想准线”,可根据抛物线的定义进行相互转化从而获得简捷、直观的求解。 数形结合是灵活解题的一条捷径。

破解 如图1,点A在抛物线y2=4x的内部，由抛物线的定义可知，MA+MF=MA+MH,其中MH为M到抛物线的准线的距离，过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1,垂足为B,则MA+MF=MA+MH≥AB=4,当且仅当点M在M1的位置时等号成立，此时点M1的坐标为(1,2).

斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长。

思索 求焦点弦的弦长有多种方法，既要掌握运算方法，也要考虑一些不算或少算的方法。 数形结合是解析几何中重要的思想方法之一。 一些问题中，充分发挥“形”的作用，可以最大限度地减少运算，“看出结果”。 我们不妨考虑问题的一般情形：斜率为k(倾斜角为θ)的直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点，如何“看出”焦点弦的弦长？

如图2,由图可以看出，FA=p-FAcosθ,FB=FBcosθ+p,所以AB=FA+FB=■+■=■. 求解过程非常直观，在已知直线倾斜角的情形下，可以直接“看出”焦点弦的弦长。 直线斜率存在时，由k=tanθ,

破解 例2中，k=1(θ=45°),p=2,所以AB=8.

在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为■.

(1)求抛物线C的方程；

(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

思索 (1)由抛物线C的标准形式可得点F的坐标和准线方程，由圆心Q在弦OF的中垂线上可得点Q的纵坐标，再由点Q到抛物线C的准线的距离列出方程，确定p的值。

(2)存在性问题的常用方法是：先假设结论存在，进行演绎推理，若推出矛盾，则否定假设；若推出合理的结果，说明假设成立。

思路1:先求切线MQ的方程，结合弦OF的中垂线方程解点Q的坐标，再由点Q在弦OM的中垂线上解题即可。

思路2:先由点Q在弦OF,OM的中垂线上，再结合切线QM斜率的不同形式表示，列出方程思考。

1. 立足课本，夯实基础

掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识，深化对基础知识的理解，重视知识间的内在联系，提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力。

2. 熟练通法，步步过关

对相对固定的题型，如弦长问题、面积问题等，解题思路、步骤相对固定，要以课本为例，以习题为模型，淡化技巧，理解通性通法，熟练步骤，能作出合理的算法途径设计，基本问题运算过关，破解“想得出，算不出、算不对”的瓶颈。

3. 重视抛物线的综合问题

重视抛物线与直线、圆等的综合研究，尤其是对性质中的一些定点、定值及相关结论的深入探究。高考试题往往有对圆锥曲线某方面几何性质的考虑，对性质深入的探究不在于知道一些结论，而是在这一过程中掌握探索的方法，理解解析几何的基本思想方法。

抛物线的基本知识点范文 篇四

关键词：基础教育；素质教育；课本习题

Abstract: basic education is to improve the quality of the education, the main content of the quality education of mathematics should be improved to allow students to develop students' intelligence, to learn a proof. In this paper, the application and popularization of the textbook exercises, make a preliminary discussion about this problem.

Keywords: basic education; quality education; textbook exercise

中图分类号：G421文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）

随着改革开放的不断深入，“国之兴衰，系于教育”的呼声已响遍神州大地。基础教育是提高民族素质的教育，是教育的基础。如何进一步深化教育改革，使学生在德、智、体等方面得到全面发展，成为具有适应21世纪基本五体投地要求的“四有”人才，这是我们教育工作者面临的十分艰巨而光荣的任务。

素质教育所包含的内容是很广泛的，但就数学学科的特点而言，发展学生智能，让学生发展式地学习知识就是其主要内容。这里所指的“智能”是知识、思维、能力的统一体。日常教学应围绕积累科知识、发展思维、培养能力三方面进行，其中思维、能力的培养应该是素质教育的落脚点。

我们使用的教材是国家组织有关专家编写的，数学这一学科的特点是“讲”、“练”相结合，而“练”是学生掌握知识、发展思维、提高能力的体现。因此，如何运用课本习题，使学生在掌握知识的同时使思维得到发展，能力得到提高，这应该是教学中的重要环节之一。

对于一道习题，从题目的已知条件出发，探索其不同的解题方法，这是人们普遍关注的，但做完一道习题后，对其进行反思，找出它的普遍规律，用它去解决其它问题；或将它进行推广，让其发挥更大作用，这往往未引起人们的足够重视，而这又恰好是利用习题对学生进行素质教育的关键所在。本文借一极普通的课本习题对这一问题作初步探求，目的是抛砖引玉．

1. 问题及证明

问题：过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为、，则．[见《平面解析几何》（必修本）]

证：当直线不垂直于x轴时，设过抛物线焦点的直线方程为，．

将上式带入，整理得．

此方程的两根、即为直线与抛物线交点的纵坐标，由韦达定理得．

当直线垂直于x轴时，直线的方程为代入，得，故．

综上可知，．

优化证明方法

上述证法是解决这类问题的一般方法，它将“问题”作一简单分类，即直线有斜率和没有斜率两种情况。但通常会把直线没有斜率这一情形遗漏掉，造成证明的不完整，我们使用的人民教育出版社出版的教学参加书上就是如此．本“问题”可用下面的方法来证明：

没过焦点的直线议程为，由于直线与抛物线交于两点，k始终存在（若k不存在，则直线与x轴重合，不合题意。）

将代入，整理后得。

设此方程的两根为、，则由韦达定理可得。

这种证法不但一步到位，而且又可以防止错误的产生，显然优于第一种证法。

3.应用

前面，我们已经证明了“问题”，就题目本身的要求而言可以认为是结束了。但仔细观察“问题”的条件和结论，我们不难发现，它的条件和结论带有一般性，即过抛物线的焦点的直线与相交于两点，这两点的纵坐标之积仅与参数p有关。下面举例说明其应用．

例 1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平等于抛物线的对称轴．

证：如图1，设抛物线的方程为，点

P、Q、M的坐标分别为、、，

则，

即 ①

直线PM的方程为，准线l的方程为，

点M的纵坐标，而，

故 ②

由①、②得MQ平等于x轴．

例 2过抛物线的焦点弦（过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，这两点间的线段称为抛物线的焦点弦。）两端向准线作垂线。求证：⑴两垂足与焦点的连线互相垂直；⑵以焦点的弦两端与两垂足为顶点的四边形的两对角线过抛物线顶点。

证：如图2.

（1）设抛物线的弦PQ过焦点，点P、Q的坐标分别为、，则。又设过点P、Q与准线l交于点M、N，则M、N的坐标

分别为，．

，

．

（2）

从而点M、O、Q共线．

同理可证P、O、N三点共线。

4.推广

以上，我们不但证明了“问题”，而且用“问题”的结论去解决了一些问题，应该说“问题”已经得到了圆满的解决，但若到此止步，我们所得的仍然甚少． 如果把“问题”中的“直线过抛物线的焦点与抛物线相交于两点”这一条件变换为“直线过抛物线的对称轴上任意一点与抛物线相交于两点”则所得的结论又是怎样的呢？这正是进一步所要研究的问题．

如果直线l过抛物线的对称轴上的任意一点（m,0）与抛物线相交于两点，这两点的纵坐标为、，设l的方程为，即，代入，整理得此方程的二根为、即为两交点的纵坐标，依韦达定理得．从而我们有下面的结论：

过抛物线（p>0）的轴上任意一点（m,0）的直线与抛物线相交于两点，这两点的纵坐标为、，则

这样，我们把“问题”作了推广。下面再举例说明推广之后的命题的应用．

例3：抛物线内有一点P(4,1),抛物线的弦AB过点P且被点P平分，求AB所在直线的方程．

解：如图3，设弦AB与x轴相交于点C,点A、B、C的坐标分别为

则

由已知得

又由，得

抛物线的基本知识点范文 篇五

教师在使用备课组下发的教学活动设计时，往往会进行二次备课，对教学活动设计进行优化，以便适合学生．那么，教师优化活动设计的起点和落点是什么？笔者带着这样的问题参加了组内的一次公开课活动．

本次组内公开课的课题选自高中数学(苏教版)选修2―1中第2.4.1“抛物线的标准方程”，共开设了两节课，两位教师将备课组的教学活动设计进行了部分优化，教学形式采用县域推广的活动单导学模式．

一、备课组的教学活动设计

高二年级数学备课组事先组织教师拿出了一份教学活动设计，方案如下：

活动一 创设情境，感受数学

问题1：回忆生活中、数学中遇到的抛物线．

问题2：怎样检验所得的曲线是不是抛物线？

问题3：如何研究抛物线？

活动二 小组合作，建构数学

问题4：如何建系？尝试建立抛物线的方程．

问题5：自己设计一个表格，系统研究抛物线标准方程的四种情况？

问题6：思考抛物线与椭圆及双曲线之间的联系和区别是什么？

活动三 应用体验，感悟数学

例1 求抛物线y2=4x的焦点坐标和准线方程．

例2 求经过点P(-2,4)的抛物线的标准方程．

活动四 对话交流、实现共享

问题7：归纳出本节课所学到的知识。

问题8：体会本节课中涉及到的数学思想、方法？

设计意图：从学生生活中所熟知的抛物线模型出发，设计成问题串，激发学生的学习兴趣和需要，再通过独立思考、小组合作等手段来解决学生的疑惑．教师在每个活动开展的过程中进行适时的点拨、引领，帮助学生理解数学，让学生在问题解决过程中学会思考，建构数学．

二、课堂活动方案分析

两位教师的课堂活动方案分别记为案例A和案例B，下面对两个活动方案优化的部分作一比较和分析．

在教学活动中，两位教师主要在活动一和活动二上体现出了不一样的处理．

1.活动一的处理

案例A：严格按照活动一展开教学活动．在学生尝试回忆、做出回答后，教师打开投影仪展示了从网络上收集的一些有关抛物线模型的图片，比如手电、拱桥、喷泉、平抛运动等，并在图片上用彩笔画出抛物线的示意图．在活动处理过程中，教师进行了适时点拨．

案例B：在学生回忆遇到的抛物线后，让学生进行了一次手工实验操作，题目选自高中数学(苏教版)选修2―1第54页第14题．学生通过动手操作，观察折痕围成的轮廓，感受抛物线的具体形状，说出抛物线的名称．课堂气氛活跃，整个班级的学生都被调动起来了，然后教师再抛出问题，怎样从数学角度说明曲线就是抛物线．

两位老师的引入方式不一样，一个通过投影将图片展示给学生以直观感知，另一个则通过手工操作给学生直接感受．案例A中的学生在熟悉的抛物线图形与数学中的抛物线之间产生疑惑，产生了想用抛物线的方程来解决问题的需求．不同的是案例B的实践操作给学生的感受是数学与现实之间的碰撞，用一张小小的纸片就能折出抛物线的模型，给学生留下比较深刻的印象．学生通过数学实验，对数学有了真实的感受，他们可以直接触摸数学．当学生向别人展示实验现象时，他想解释清楚为什么，这种需求激发着学生去思考，同时也激发了学生不断探索的热情\www.chayi5.com\．

2.活动二的处理

案例A：在学生回忆出抛物线的定义后，教师使用几何画板进行了演示，要求学生认真观察、独立思考，写出观察到的现象，并在小组内交流．学生们归纳得出抛物线具有对称性、抛物线的顶点是焦点与焦点在准线上射影的中点、过焦点与准线垂直的直线是抛物线的对称轴等几个基本性质．接下来教师引导学生思考建立抛物线方程的几个环节，着重在建系上下功夫，提醒学生采用类比的思想．教师又借助几何画板的旋转功能将抛物线旋转了几种特殊位置，学生根据观察，提出借助建系方案．最后由学生分组求出不同的标准方程，教师指导学生整理归纳．

案例B：教师从尺规作图的角度提出如何根据抛物线定义画出抛物线的图形．学生根据描点作图的方法，很快给出作图的建议，教师和学生一起完成的抛物线的作图．接下来，教师要求学生独立分析图形的性质，并根据性质独自尝试建系，求出抛物线的方程，小组合作后集中展示．

案例A使用几何画板的动态展示，让学生对抛物线的开口方向、开口大小有了感性的认识，对于各种形态下的抛物线有所感知，利于学生从整体上把握知识，利于知识的建构．不足的是教学貌似学生探索出抛物线的方程，实际上是教师替代了学生的思维，学生的主体性未得到充分彰显．案例B则用描点法作出抛物线的图形，较案例A稍显平淡，但是教师在学生建系的过程中，用充足的时间让学生独立思考，尝试建系，并在小组内进行深入探究，这样学生的思维需求、表达需求得以满足，学习的经历也比较深刻．

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